Дано уравнение e^x - x² - 3 = 0.
Применим для его решения численный метод половинного деления
.
Алгоритм состоит в следующем.
Предположим, мы нашли две точки, такие что они имеют разные знаки, тогда между этими точками находится хотя бы один корень функции.
Поделим отрезок пополам и введем среднюю точку .
Оставим ту половину отрезка, для которой значения на концах имеют разные знаки. Теперь этот отрезок снова делим пополам и оставляем ту его часть, на границах которой функция имеет разные знаки, и так далее, достижения требуемой точности.
Определение исходных точек можно проводить несколькими способами.
Например, подстановкой произвольных значений переменной, чтобы значения функции имели разные знаки (но с учётом, что на этом отрезке функция монотонна).
Пробуем с подстановкой х = 1 и х = 2.
Получаем x = 1 2
y = -1,2817 0,3891
.
Как видим, корень находится на промежутке (1; 2).
Более точно можно промежуток определить при помощи графика.
Заданную функцию e^x - x² - 3 = 0 можно разделить на 2:
x² = e^x - 3. (Графики этих функций приведены во вложении).
По этому графику промежуток определён точнее (1,8; 2).
Подставляем значения и последовательно имеем:
Δx х у
1,8 -0,190352536
0,2 2 0,389056099
-0,1 1,9 0,075894442
-0,05 1,85 -0,062680477
0,025 1,875 0,00519412
-0,0125 1,8625 -0,029090046
0,00625 1,86875 -0,012035467
0,003125 1,871875 -0,003442648
0,0015625 1,8734375 0,00087023
-0,00078125 1,87265625 -0,001287584
0,000390625 1,873046875 -0,000209021
.
Итерации завершаются при выполнении условия: Δх < ε.
С точностью до 0,001 корень равен: х = 1,873.
Во вложениях даны:
1) графики частей функции для определения промежутка.
2) Схема действий при решении методом половинного деления.
3) График заданной функции.
