Превращаем многочлен четвёртой степени в произведение двух квадратных трёхчленов, вынося
за скобку, перегруппировывая члены и получая произведение двух квадратных трёхчленов. Пошагово это делается так:
![x^{4}-16x^{3}+88x^{2}-193x+144=x(x^{3}-16x^{2}+88x-193)+144=x(x(x^{2}-16x+88)-193)+144=x(x(x(x-16)+88)-193)+144=x(x(x(x-16)+63)+25x-193)+144=x^{2}(x-9)(x-7)+16x(x-7)+9x(x-9)+144=(x(x-9)+16)(x(x-7)+9)=(x^{2}-9x+16)(x^{2}-7x+9)](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E%7B4%7D-16x%5E%7B3%7D%2B88x%5E%7B2%7D-193x%2B144%3Dx%28x%5E%7B3%7D-16x%5E%7B2%7D%2B88x-193%29%2B144%3Dx%28x%28x%5E%7B2%7D-16x%2B88%29-193%29%2B144%3Dx%28x%28x%28x-16%29%2B88%29-193%29%2B144%3Dx%28x%28x%28x-16%29%2B63%29%2B25x-193%29%2B144%3Dx%5E%7B2%7D%28x-9%29%28x-7%29%2B16x%28x-7%29%2B9x%28x-9%29%2B144%3D%28x%28x-9%29%2B16%29%28x%28x-7%29%2B9%29%3D%28x%5E%7B2%7D-9x%2B16%29%28x%5E%7B2%7D-7x%2B9%29)
Получим:
Решим два квадратных уравнения по отдельности. Первое:
![x^2-9x+16=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2-9x%2B16%3D0)
![D=b^2-4ac=81-4*16=81-64=17](https://tex.z-dn.net/?f=D%3Db%5E2-4ac%3D81-4%2A16%3D81-64%3D17)
Дискриминант положителен, у первого уравнения два корня:
![x_{1}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{9-\sqrt{17}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7B-b-%5Csqrt%7BD%7D%7D%7B2a%7D%3D%5Cfrac%7B9-%5Csqrt%7B17%7D%7D%7B2%7D)
![x_{2}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{9+\sqrt{17}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B-b%2B%5Csqrt%7BD%7D%7D%7B2a%7D%3D%5Cfrac%7B9%2B%5Csqrt%7B17%7D%7D%7B2%7D)
Решаем второе квадратное уравнение.
![x^2-7x+9=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2-7x%2B9%3D0)
![D=b^2-4ac=49-4*9=49-36=13](https://tex.z-dn.net/?f=D%3Db%5E2-4ac%3D49-4%2A9%3D49-36%3D13)
Дискриминант положителен, у второго уравнения два корня:
![x_{3}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-\sqrt{13}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B3%7D%3D%5Cfrac%7B-b-%5Csqrt%7BD%7D%7D%7B2a%7D%3D%5Cfrac%7B7-%5Csqrt%7B13%7D%7D%7B2%7D)
![x_{4}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+\sqrt{13}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B-b%2B%5Csqrt%7BD%7D%7D%7B2a%7D%3D%5Cfrac%7B7%2B%5Csqrt%7B13%7D%7D%7B2%7D)
Объединив решения, получим четыре корня:
![x_{1}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{9-\sqrt{17}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B1%7D%3D%5Cfrac%7B-b-%5Csqrt%7BD%7D%7D%7B2a%7D%3D%5Cfrac%7B9-%5Csqrt%7B17%7D%7D%7B2%7D)
![x_{2}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{9+\sqrt{17}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B2%7D%3D%5Cfrac%7B-b%2B%5Csqrt%7BD%7D%7D%7B2a%7D%3D%5Cfrac%7B9%2B%5Csqrt%7B17%7D%7D%7B2%7D)
![x_{3}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{7-\sqrt{13}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B3%7D%3D%5Cfrac%7B-b-%5Csqrt%7BD%7D%7D%7B2a%7D%3D%5Cfrac%7B7-%5Csqrt%7B13%7D%7D%7B2%7D)
![x_{4}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{7+\sqrt{13}}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7B4%7D%3D%5Cfrac%7B-b%2B%5Csqrt%7BD%7D%7D%7B2a%7D%3D%5Cfrac%7B7%2B%5Csqrt%7B13%7D%7D%7B2%7D)