Question

Знайти похідну dy/dx явно заданої функції: y(x)=(sin(sqrt(x)))^(ln(sin(sqrt(x))));

Answer 1

$y=(sin\, \sqrt{x})^{ln(sin\sqrt{x})}\\\\lny=ln(sin\sqrt{x})^{ln(sin\sqrt{x})}\\\\lny=ln^2(sin\sqrt{x})\\\\\frac{y'}{y}=2ln(sin\sqrt{x})\cdot \frac{cos\sqrt{x}}{sin\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\\\\y'=y\cdot 2ln(sin\sqrt{x})\cdot ctg\sqrt{x}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}\\\\y'=(sin\sqrt{x})^{ln(sin\sqrt{x})}\cdot ln(sin\sqrt{x})\cdot ctg\sqrt{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}$