Вычтем 2 из обеих частей уравнения:
tg²(x + y) - 2 + ctg²(x + y) = √(2x / (x² + 1)) - 1
Левая часть - квадрат разности, т.к. tg t ctg t = 1:
tg²(x + y) - 2 tg(x + y) ctg(x + y) + ctg²(x + y) = (tg(x + y) - ctg(x + y))²
Если левая часть - полный квадрат, то и левая и правая часть должны быть неотрицательны. Запишем это для правой части:
√(2x / (x² + 1)) - 1 ≥ 0
√(2x / (x² + 1)) ≥ 1
2x / (x² + 1) ≥ 1 --- домножаем на (x² + 1) > 0
2x ≥ x² + 1
x² - 2x + 1 ≤ 0
(x - 1)² ≤ 0
x - 1 = 0
x = 1
Получили, что правая часть уравнения может быть неотрицательна только при x = 1. Подставляем найденное значение в уравнение и пытаемся найти y:
(tg(1 + y) - ctg(1 + y))² = 0
tg(1 + y) - ctg(1 + y) = 0
tg(1 + y) = ctg(1 + y) --- tg(1 + y) = 0 - не решение уравнения. Поэтому на него можно домножить
tg²(1 + y) = tg(1 + y) ctg(1 + y) = 1
1 + y = π/4 + πn/2, n∈Z
y = π/4 - 1 + πn/2, n∈Z
Проверкой убеждаемся, что полученные корни не посторонние.
Ответ. x = 1, y = π/4 - 1 + πn/2, n∈Z
Четырёхугольник ABDE вписанный, так как ABE=ADE=80, тогда EAD=EBD=180-ABE-(180-BDC)/2 = 180-80-50 = 50
Если между 7 и 15 нет знаков (аналогично 4 и 9) то 715 + 49 =754 , а если там умножить то будет так ( 7×15)+(4×9) =105+36=141
30 * 40 = 1200 ....................
