Question

Система из двух одинаковых тел, соединенных легкой нерастяжимой нитью, переброшенной через блок, покоится на горизонтальной поверхности (см. рис.). Если к свободному концу нити приложить некоторую силу F, то он начнет движение с ускорением a = 1 м/с2. Какие ускорения a1 и a2 при этом будут иметь тела, если коэффициент трения между ними и поверхностью μ = 0,2. Массой блока и трением в его оси можно пренебречь. g = 10 м/с2.

Answer 1

Пусть тело-1 движется вправо, а тело-2 движется влево.

Допустим блок и тело-2 смещаются под действием силы влево на ∆L2, а конец нити сместиться на ∆L влево. Тогда кусок нити от блока до конца нити удлиннится на величину ∆L–∆L2. На такую же величину должен уменьшится кусок нити от блока до тела-1, а ещё мы знаем, что сам блок смещается влево на ∆L2. А значит тело-1 продвинется направо на ∆L–∆L2 и налево на ∆L2, т.е. вправо на ∆L–2∆L2. Таким образом:

∆L1 = ∆L – 2∆L2      || : ∆t ;

∆L1/∆t = ∆L/∆t – 2∆L2/∆t ;

v1 = v – 2v2    – где v1, v2 и v – скорости тела-1, тела-2 и конца нити;

∆v1/∆t = ∆v/∆t – 2 ∆v2/∆t ;

a1 = a – 2a2 ;

Сила натяжения F передаётся телу-1 полностью. При этом влево на блок действуют силы F с обеих сторон. Стало быть натяжение осевой нитки блока справа, прикреплённой к телу-2 равно 2F.

Запишем II закон Ньютона для обоих тел:

a1 = [F–μmg]/m ;

a2 = [2F–μmg]/m ;

раскроем и подставим a1:

a – 2a2 = F/m – μg ; || *2

a2 = 2F/m – μg ;

вычтем из нижнего верхнее:

5a2 – 2a = μg ;

a2 = [2a+μg]/5 ;

a1 = a – 2a2 = a – [4/5] a – 2μg/5 = a/5 – 2μg/5 ;

a1 = [a–2μg]/5 ≈ [1–4]/5 < 0 – чего не может быть!

А значит, тело-1 вообще не будет двигаться при таком ускорении! Силы трения окажется достаточно, чтобы его удержать на поверхности неподвижным.

В этом случае

0 = a – 2a2 ;

a2 = a/2 ≈ 0.5 м/с² ;

ma2 = 2F – μmg ;

F = ma2/2 + μmg/2 ;

Для покоя тела-1 должно выполняться:
Fтр = F = ma/4 + μmg/2 < Fтр(ск) = μmg ;

a < 2μg    <==>    1 < 4    – что действительн овыполняется;




ОТВЕТ:

a1 = 0 ;

a2 = a/2 ≈ 0.5 м/с² .