Question

Y=x^3-6x^2+9x-2 исследовать функцию и построить её график

Answer 1

1) выяснение области определения функции; 
D(y):x^3-6x^2+9x-2⇒x∈(-∞;+∞).

2) решается вопрос о четности или нечетности функции; 
Проверим, функция чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).Итак, проверяем:(-x)³  - 6*(-x)²  + 9*(-x) - 2 = -2 - x³ - 9*x - 6*x² - Нетx³ - 6*x² + 9*x - 2 = 2 - -x³ - -9*x - -6*x² - Нет, значит, функция не является ни чётной, ни нечётной.3) исследуется периодичность функции - не периодична; 
4) находят точки пересечения кривой с осями координат; 
График функции пересекает ось X при f = 0значит надо решить уравнение:x³ - 6*x² + 9*x - 2 = 0Точки пересечения с осью X:Аналитическое решениеx1 = 2 ___ x2 = 2 - \/ 3 ___ x3 = 2 + \/ 3 Численное решениеx1 = 0.267949192431x2 = 2x3 = 3.732050807575) находят точки разрыва функции и определяют их характер - нет точек разрыва; 
6) проводят исследования на экстремум, находят экстремальные значения функции; 
Находим производную функции и приравниваем её нулю.
y ' = 3x²-12x+9 = 0.
3x²-12x+9 = 0.
x²-4x+3 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=(-4)^2-4*1*3=16-4*3=16-12=4;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√4-(-4))/(2*1)=(2-(-4))/2=(2+4)/2=6/2=3;x_2=(-√4-(-4))/(2*1)=(-2-(-4))/2=(-2+4)/2=2/2=1.

Найдены 2 критические точки: х = 3 и х = 1.

Исследуем значение производной вблизи критических точек.

При переходе знака производной с минуса на плюс – это минимум функции, при переходе с плюса на минус – это максимум функции.

х =   0     1     2     3      4
y ' = 3     0    -1     0      3

В точке х = 3 минимум функции, в точке х = 1 максимум.

7) ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости кривой; 
Находим вторую производную и приравниваем её нулю.
y '' = 2x - 4 = 0.
2x -4 = 0.
x = 4/2 = 2  это точка перегиба.
8) отыскание асимптот кривой - их нет; 
9) полученные результаты наносят на чертеж и получают график исследуемой функции - дан в приложении.