Класс, программа, прогресс
Ь в корень не входит это остаточная частица
И.п. - сто девяносто семь
Т.п. - ста девятиста семью
И.п. - четыреста семьдесят два
Т.п. - четырьмястами семьюдесятью двумя
И.п. - шестьсот сорок девять
Т.п. - шестьюстами сорока девятью
Написание мягкого знака зависит от формы слова. Если эти слова находятся в начальной форме (инфинитиве) - мягкий знак в них пишется: (что сделать?) - понадобиться, писаться.
Однако если речь идет о форме 3-го лица единственного числа (безличное) - мягкого знака в них нет. Например: "Это слово (что делает?) пишется без мягкого знака". "Для пирога вам понадобится два стакана муки".
Орлиный взгляд - орлиные перья. У птицы орла взгляд остер и точен, он может увидеть добычу с довольно большой высоты, даже если она мала. Словосочетание орлиный взгляд обычно относят к людям с острым зрением.
Туманное утро - туманный разговор. Туманный разговор означает неопределенную, неточную, беседу с ложью, подвохом. Туманным утром мало, что видно. И видно то, что находится ближе к нам. Думаю, что тут ясно.