А тут, действительно, как кому в голову взбредет, смотря по тому, о каком сфинксе речь.
Давайте разберемся насчет египетского сфинкса. Тот, что у прибрежного храма, пирамиды Хафры, именуется Большим сфинксом, для того чтобы отличить его от прочих сфинксов Египта, коим не счесть числа - они есть и бараноголовые, на аллее сфинксов, храмового комплекса в Карнаке и с головами сокола. Короче, много их.
Эти сфинксы все пишутся с маленькой буквы.
Но сфинкс слово греческое, а совсем не египетское и означает конкретное существо, представленное в единственном экземпляре и, соответственно, пишется с заглавной буквы - Сфинкс.
А как называли египтяне своего Большого сфинкса - Амон его знает. Есть в ходу название Великий молчаливый, но, быстрее всего так его называли романтичные арабы.
Вообще-то, есть у меня вариант египетского названия, но откуда он выплыл из памяти я точно не помню и посему промолчу.
Да и по русски звучит оно, скажем так, не очень. Как, например, и Дом Осириса.