(1) Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
(2) Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, равен 2xy/(x+y) - среднему гармоническому длин оснований трапеции и делится этой точкой пополам (формула Буракова).
Итак, из (1) (AD-BC)=40, а BC=(2/3)*AD (дано). Отсюда AD=120, BC=80.
Из (2) КО=(2*80*120/200):2=48.
Высоту трапеции СМ найдем так: проведем из вершины С прямую СN, параллельную стороне АВ трапеции. тогда в треугольнике NCD NC=AB=24(противоположные стороны параллелограмма), CD=32, а ND=AD-BC=40. Найдем площадь треугольника NCD по Герону:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]. В нашем случае S=√(48*24*16*8)=√147456=384. Высота треугольника, проведенная к основанию с:
h=2S/с. У нас СМ=2*384/40 = 19,2.
Продолжим боковые стороны трапеции до их пересечения в точке S. По свойству трапеции точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Следовательно, искомый отрезок ОТ лежит на прямой SG. Высота треугольника ASD: SF=SE+EF, где EF=СМ - высота трапеции.
AS/BS=AD/BC=3/2 (дано). Тогда BS/AB=ES/EF=2/1 (так как АB=AS-BS) и BS=2*AB=48,
а ES=2*EF=38,4.
ВЕ=√(48²-38,4²)=√(9,6*86,4)=28,8. ET=40-28,8=11,2
ST=√(11,2²+38,4²)=√1600=40. Тогда из подобия треугольников КSO и BSTимеем: BT/KO=ST/SO=40/48 и SO=48.
Тогда ТО=SO-ST=48-40=8.
Ответ: расстояние между точкой пересечения диагоналей трапеции и серединой меньшего основания равно 8.
Еще один вариант решения:
Из (1) и (2) находим AD=120, BС=80, КО=48.
Проведем CN параллельно АВ. В треугольнике NСD стороны равны 24,32 и 40, то есть их отношение равно 3:4:5, а это значит, что треугольник NCD прямоугольный (Пифагоров треугольник) и против большей стороны (гипотенуза) лежит угол, равный 90° Итак, <NCD=90°.
Продолжим боковые стороны трапеции до их пересечения в точке S. По свойству трапеции точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Следовательно, искомый отрезок ОТ лежит на прямой SG. Но <ASD=90° (так как AS параллельна NC).
Следовательно, SG - медиана прямоугольного треугольника ASD и равна половине гипотенузы AD, как и SO - медиана прямоугольного треугольника KSH и равна половине гипотенузы KH (свойство медианы прямоугольного треугольника) . Тогда SG=60, ST=2*60/3=40 (из подобия ASD и BSC), SO=KO=48. Значит ТО=SO-ST=48-40=8.
Или так: треугольники ВОС и ОРQ подобны с коэффициентом подобия ВС/PQ=80/20=4/1. ТR=(1/2)*TG=(1/2)*(SG-ST)=(1/2)*(60-40)=10. TR=TO+OR, а TO/OR=4/1.
Значит ТО=(10/5)*4 = 8.
Выбирайте любой вариант.
если 90 градусов то треугольник прямоугольный,а если АВ=А1В1 и АС=А1С1 то треугольники равны по гипотенузе и катету,может ты чего то не договариваешь?
Свойство треугольника: против большей стороны лежит больший угол, против большего угла- большая сторона.
Это значит что если один угол больше другого, то и противолежащая сторона первого больше второго.
Рассмотрим сначала треугольник АВС
угол АВС>BAC>ACB
соответственно
AC>BC>AB
теперь сравним сторону ВЕ со сторонами АВ и ВС
в треугольнике ВЕС угол ВЕС >ЕСВ
=> BC>EB
в треугольнике AEB угол BAE >AEB
=> BE>AB
получается
AC>BC>ЕВ>AB
на рисунке показаны величины углов
Если все боковые ребра наклонены под одним углом к основанию пирамиды, все боковые ребра равны, а вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, т.е. основанием высоты (SO) пирамиды явялется середина гипотенузы (AC) основания пирамиды.
В прямоугольном треугольнике ABC:
Катет AB = a
∠ABC = 90°
∠ACB = f
Тангенсом ∠ACB явялется отношение противолежащего ему катета AB к прилежащему катету BC.
tg(ACB) = AB / BC
BC = AB / tg(ACB)
BC = a / tg(f)
Площадь основания пирамиды SABC:
Sосн = 1/2 * AB * AC
Sосн = 1/2 * a * a / tg(f) = a² / (2tg(f))
Синусом ∠ACB является отношение противолежащего ему катета AB к гипотенузе AC
sin(ACB) = AB / AC
AC = AB / sin(ACB)
AC = a / sin(f)
CO = AC / 2 a
CO = 1/2 * a/sin(f) = --------------
2sin(f)
В прямоугольном треугольнике SOC:
Катет CO = a / (2sin(f))
∠SCO = β
SO = H пирамиды
Тангенсом ∠SCO является отношение противолежащего ему катета SO к прилежащему катету CO
tg(SCO) = SO / CO
SO = CO * tg(SCO)
SO = CO * tg β
a * tg β
SO = a / (2sin(f)) * tg β = -------------------
2sin(f)
Объем пирамиды
V = 1/3 * Sосн * H
1 a² a * tg β a³ * tg β
V = --------- * ---------------- * --------------- = ----------------------------
3 2tg(f) 2sin(f) 12 * tg(f) * sin(f)