Гайморит - это и есть синусит, точнее, один из видов синусита.
Синусит - это общее название воспаления слизистой любой из придаточных пазух носа. Произошло от латинского sinus - пазуха.
Так как таких пазух несколько, то воспаление каждой из этих пазух носит ещё и своё отдельное название.
Если воспаление локализуется в гайморовых пазухах, такое заболевание носит название гайморит. Иначе эти пазухи называются верхнечелюстными и расположены по обеим сторонам носа в верхнечелюстной кости.
Если воспаление коснулось лобных пазух, то такой синусит иначе называется фронтит (от латинского слова frontis - лоб).
Если воспалилась слизистая решетчатого лабиринта, то заболевание носит название этмоидит (от латинского ethmoidales - решетчатые).
Если воспалилась клиновидная пазуха - то это сфеноидит (от sphenoidalis - клиновидный).
То есть гайморит - частное проявление синусита.