Для того, чтобы определиться, как правильно писать "квест" или "квэст", нам следует установить происхождение этого слова.
Слово "кве(э)ст" является заимствованным и пришло к нам из английского. Поскольку в языке оригинала слово "quest" пишется через "е", то и в русском языке "квест" следует писать через гласную "е", несмотря на то, что при произношении слышится звук [э].
Примеры предложений, в которых употребляется слово квест:
Прохождение квестов в последнее время стало довольно популярным развлечением.
Если трудности и испытания не пугают вас, тогда этот квест для вас.
Интересно наблюдать со стороны, как толпа увлеченных подростков проходит квест.