Question

Может ли произведение трех последовательных натуральных чисел быть степенью натурального числа (квадратом, кубом и т.д.)?

Подробное решение, пожалуйста​

Answer 1

Заметим , что среди трех последовательных чисел всегда есть число кратное 3. А так же одно или два числа кратных 2. (Из соображения того, что есть всего 3 остатка от деления на 3 : 0;1;2, а при делении на 2 : 0;1).

Вытяним все степени двойки из произведения трех последовательных чисел , тогда получим:

n*(n+1)*(n+2)=2^r *(a1^f1*a2^f2*a3^f3...*an1^fn) *(b1^g1* b2^g2*b3^g3*..bn2^gn)*(c1^h1* c2^h2 *c3*h3..cn3^hn)

an1, bn2, cn3 - простые множители большие двух ,каждого из трех последовательных натуральных чисел.( простые числа)

Покажем ,что три последовательных числа не имеют общих простых делителей больше 2. Предположим , что n делится на p : n=k*p , тогда n+2=k*p+2, тк p>2 , то 2 не делится на p , а значит n+2 не делится на p. Аналогично n+1 не делится на p : n+1=k*p+1 тк 1 не делится на p. Так же доказывается для случая делимости на простое чисел n+1 и n+2.

А значит невозможны равенства:

ak1=bk2 , ak1=ck2 , bk1=ck1.

То есть в трех сомножителях нет одинаковых простых множителей .

Предположим что: n*(n+1)*(n+2) является cтепенью q натурального числа N.

N=p1^i1 *p2^i2 *p3^i3...*pm^Im

pm-простые числа.

N^q=p1^qi1 *p2^qi2 *p3^qi3...*pm^qIm.

Поскольку до этого было доказано , что невозможны равенства:

ak1=bk2 , ak1=ck2 , bk1=ck1.

То справедливо, что:

n*(n+1)*(n+2)=2^qr *(a1^qf1*a2^qf2*a3^qf3...*an1^qfn) *(b1^qg1* b2^qg2*b3^qg3*..bn2^qgn)*(c1^qh1* c2^qh2 *c3^qh3..cn3^qhn)

Откуда очевидно , что для соседних четного и нечетного числа верно что: n=x^q , n+1=y^q.

То есть верно что:

x^q-y^q=1 , что не является возможным для натуральных чисел x,y,q.

Поскольку x^q-y^q делится на x-y по формуле разности степеней. x-y=1

Но тогда x^n-y^n>1 , то есть мы пришли к противоречию.

Вывод: произведение трех последовательных чисел не является степенью целого числа.

Answer 2

Возьмём для простоты вычислений числа n-1, n, n+1. Пусть произведение этих чисел — это k-тая степень какого-то числа: $(n-1)n(n+1)=2^k*3^k*5^k*...$. Зная, что два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые, получаем, что число n взаимно простое с числами n-1, n+1, то есть n не имеет общих множителей в разложении с числами n-1 и n+1. Значит, каждый множитель n находится в k-той степени — само число n — это k-тая степень. Но тогда и (n-1)(n+1) = n²-1 является k-той степенью. Если возвести число n в квадрат, оно всё равно останется числом в степени k: $n^2=(2^k)^2*(3^k)^2*(5^k)^2*...=(2^2)^k*(3^2)^k*(5^2)^k*...$. Но тогда n²-1 и n² — это два последовательных числа, являющиеся k-той степенью. Если взглянуть на графики степенных функций, становится ясно, что такого быть не может. Значит, и произведение трех последовательных натуральных чисел не является степенью натурального числа.