Больничный после вакцинации не предусмотрен.
Если есть реакция на прививку - общая слабость, разбитость, головная боль, повышенная температура, то можно просто отпроситься на один - два дня. Обычно, все проявления реакции на прививку, заканчиваются через день-два.
Сразу, после вакцинации, как правило, реакции не бывает, она проявляется ближе к вечеру того дня, когда была сделана прививка.
Если вопрос в том, чтобы отпроситься или взять больничный в тот день, когда на работе будет проводиться вакцинация, именно для того, чтобы избежать прививки, то это уж, Ваше личное дело. Отпроситься именно в день вакцинацим, будет выглядеть подозрительно, к тому же, работодатель, потом, все равно, будет настаивать на том, чтобы Вы привились. А вот если взять больничный, сославшись на не тяжёлое респипаторное заболевание (болит горло, общая слабость), то после "выздоровления", у Вас будет месяц медицинского отвода от прививок. А там уж, и прививочная компания по гриппу, закончится.
Так же, во время плановой вакцинации на работе, можно, просто, сказать, что у Вас, в данный момент, болит/першит горло, и Вас не будут вакцинировать, напишут медотвод.
Тогда, можно, вообще, не заморачиваться ни с тем, чтобы отпроситься, ни с тем, чтобы взять больничный.
В принципе, Вы, так же, вправе, написать письменный отказ от вакцинации, если не хотите прививаться.