Question

(37)Определенный интеграл. Интегрирование по частям\ Решить как можно подробнее

Answer 1

$\mathfrak{I} =\int (x- \pi )cos2xdx= \frac{1}{2} \int (x- \pi )d(sin2x)=\\ \\ \frac{1}{2}(x- \pi )sin2x-\frac{1}{2} \int sin2xd(x- \pi )= \frac{1}{2}(x- \pi )sin2x-\frac{1}{2} \int sin2xdx= \\ \\ = \frac{1}{2}(x- \pi )sin2x+\frac{1}{4} cos2x+C. \\ \\ \int \limits_{0}^{ \pi /4 }(x- \pi )cos2xdx=(\frac{1}{2}(x- \pi )sin2x+\frac{1}{4} cos2x)\Bigr|_0^{\pi/4}=$

$=(\frac{1}{2}(\frac{ \pi }{4}- \pi )sin(2*\frac{ \pi }{4})+\frac{1}{4} cos(2*\frac{ \pi }{4}))-(\frac{1}{2}(0- \pi )sin0+\frac{1}{4} cos0)= \\ \\ =-\frac{ 3\pi }{8}-\frac{ 1 }{4}$

При вычислении площади фигуры используют абсолютную величину данного значения, т.е. число $|-\frac{ 3\pi }{8}-\frac{ 1 }{4}|=\frac{ 3\pi }{8}+\frac{ 1 }{4}$