Оба варианта имеют право на их употребление в речи.
Падежное окончание существительного приложение зависит от смысла всего предложения.
В приведенном виде совсем не понятно, о каком письме ведётся разговор: о том, которое находится В ЧЕМ-ТО,
или о том, которое необходимо добавить ВО ЧТО-ТО.
В зависимости от этого и меняется окончание существительного приложение.
Если внимание акцентируется на том, что отправляется письмо, приложенное дополнительно к какому-то документу,
если оно написано на отдельном листке, при нем есть сопроводительная записка, а само письмо лишь прилагается к ней, то имеется в виду, что письмо находится В ЧЁМ-ТО.
В этом случае требуется предложный падеж, а в падеже предложном существительное приложение
оканчивается на -И. Тогда правильно написать в приложениИ.
Имеется в виду, что письмо находится в этом самом приложении.
Если письмо нужно отправить с тем, чтобы его приняли, чтобы его добавили в другое, ранее отправленное приложение, когда совсем не важно то, каким способом оно отправлено, а важно то, куда его поместить, когда оно придет,
то существительное приложение требует постановки его в падеже винительном с окончанием -Е:
направляю Вам письмо в приложениЕ (такое-то ...
Здесь подчеркивается, что письмо необходимо добавить ВО ЧТО -- в приложение.
