Понятие "государственное" (равно как "муниципальное", или включение в название субъекта РФ) означает лишь собственника имущества (см. ч.4 ст.214 Гражданского кодекса РФ).
Понятие "государственное" в названии организации не определяет каких-либо властных полномочий данной организации, не определяют ее правового статуса для осуществления государственной власти. Данные критерии отражаются не в наименовании, а в документах об учреждении таковой организации. Более подробно см. ст. 125 ГК РФ.
На счет того, что такое "государство" вообще нужно рассуждать на примерах каждого государственного образования в отдельности. Обобщить современное понимание государственности не представляется возможным. Например, знаете ли какой государственный строй в Канаде? Не ищите в поисковиках, ошибетесь. Поищите лучше информацию про официальный титул Королевы Великобритании:
Что это за другие "...Царства и Территории..."? Вы удивитесь, но власть Королевы Великобритании распространяется на Канаду, Австралию, Пакистан, Бангладеш, страны африканского региона - на более чем 150 (!!!) государственных образований.
А если начнете разбираться в полномочиях королевской семьи, то удивитесь еще больше - это далеко не номинальная должность, существующая лишь как дань традиции. Среди полномочий королевской семьи особо выделяются право объявления войны; право смещения и назначения Премьер-министра по своему усмотрению.
На этом фоне весьма смехотворными выглядят упреки К.А. Собчак в несменяемости власти в РФ.