1) Короткий способ.
![y'+2y+4=0;\ (y+2)'=-2(y+2);\ y+2=Ce^{-2x}; y=Ce^{-2x}-2](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%2B2y%2B4%3D0%3B%5C+%28y%2B2%29%27%3D-2%28y%2B2%29%3B%5C+y%2B2%3DCe%5E%7B-2x%7D%3B+y%3DCe%5E%7B-2x%7D-2+)
2) Длинный, но стандартный способ.
Решаем как линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Сначала нужно решить однородное уравнение
![y'+2y=0.](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%2B2y%3D0.)
Соответствующее характеристическое уравнение
![t+2=0;\ t=-2;\ y=Ce^{-2x}.](https://tex.z-dn.net/?f=t%2B2%3D0%3B%5C+t%3D-2%3B%5C+y%3DCe%5E%7B-2x%7D.++)
Остается угадать частное решение неоднородного уравнения
![y'+2y=-4](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%2B2y%3D-4)
. Поскольку производная константы равна нулю, частным решением будет
Ответ:
![y=Ce^{-2x}-2](https://tex.z-dn.net/?f=y%3DCe%5E%7B-2x%7D-2)
3) Еще один стандартный скучный способ. Уравнение можно рассматривать как уравнение с разделяющимися переменными:
![\frac{dy}{dx}=-2y-4;\ \frac{dy}{y+2}=-2\, dx;\ \int\frac{dy}{y+2}=-2\int\, dx;\ \ln|y+2| =-2x+C;\](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-2y-4%3B%5C+%5Cfrac%7Bdy%7D%7By%2B2%7D%3D-2%5C%2C+dx%3B%5C+%5Cint%5Cfrac%7Bdy%7D%7By%2B2%7D%3D-2%5Cint%5C%2C+dx%3B%5C+%0A%5Cln%7Cy%2B2%7C+%3D-2x%2BC%3B%5C+)
![|y+2|=e^{-2x+C};\ y=\pm e^C\cdot e^{-2x}-2.](https://tex.z-dn.net/?f=%7Cy%2B2%7C%3De%5E%7B-2x%2BC%7D%3B%5C+y%3D%5Cpm+e%5EC%5Ccdot+e%5E%7B-2x%7D-2.)
Обозначим
![\pm e^{C}=C_1\not= 0;\ y=C_1\cdot e^{-2x}-2.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cpm+e%5E%7BC%7D%3DC_1%5Cnot%3D+0%3B%5C+y%3DC_1%5Ccdot+e%5E%7B-2x%7D-2.)
Заметим, что в процессе решения мы делили на y+2, при этом потеряли решение y= - 2. Его надо добавить к уже найденным решениям. Записывать это решение в ответ отдельной строкой не придется, так как оно вписывается в общее решение, если снять ограничение
![C_1\not= 0.](https://tex.z-dn.net/?f=C_1%5Cnot%3D+0.)