Всякую фигуру на плоскости можно разбить на треугольники, а сам треугольник - на два прямоугольных треугольника. Далее, исходя из подобия треугольников, можно в принципе решить любую геометрическую задачу.
Проведем дополнительные линии как показано на рисунке. В результате получаем три подобных прямоугольных треугольника ЕDА, СКD, МКN, тогда ЕА = 5 – 4 = 1.
Отрезки касательной КМ и секущей КА к окружности связаны следующей зависимостью
КМ² = КА*DА.
КD/DА = СD/ЕА, откуда КD = DА* СD/ ЕА = 4*DА.
Тогда КМ = √((4*DА + DА)*4* DА)= 2√5*DА.
КМ/МN = DА/ЕА, в результате МN = КМ* ЕА/DА = 2√5.
Объем конуса - это одна третья произведения площади основания на его высоту. Круг - основание конуса. (нам нужна площадь круга) Таким образхом объем
V = 1/3 Sоснования · h =1/3 ? D 2/4 · h
По рисунку
Треугольники АВС и АНМ – подобны по величине трех углов. Из этого следует:
ВС : НМ = AO : AS = 1 : 4 (известно по условию, что AO : OS = 1 : 3), получаем
НМ = 4ВС
AS = 4AO
Следовательно первоначально объем конуса:
V1 = 1/3 ?D2/4 · h = 1/3 ? · НМ2 · АS =1/3 ? · (4BC)2 · (4AO) = 512
Объём второго конуса (отсеченного) будет рассчитываться по формуле:
V2 = 1/3 ?D2/4 · h = 1/3 ? · ВС2 · AO
Найдем, во сколько раз объем большого конуса больше отсекаемого. Найдем отношение объема V1 конуса на V2 :
V1 / V2 = (1/3 ? · (4BC)2 · (4AO)) / (1/3 ? · ВС2 · AO) = в 64 раза объем большего конуса больше отсекаемого.
Найдем обьем, отсекаемого от первоначального конуса, плоскостью:
V2 = V1 / 64 = 512 / 64 = 8 см3.
Расстояние от точки до плоскости, до прямой и до другой точки определяется формулами аналитической геометрии. Например, расстояние от точки до плоскости d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/
√A2 + B2 + C2.
Но в частном случае, каким является данная задача, решение намного проще. Расстояние от точки до координатных плоскостей это фактически модули координат этой точки. Поэтому а) расстояние от точки М (2;3;-4) до плоскости Х0У равно 4 (модулю координаты z), до плоскости Х0Z равно 3 (координате у), до плоскости У0Z равно 2 (координате х). Расстояние до координатных осей определяется по теореме Пифагора, то есть б) расстояние от точки от точки М (2;3;-4) до оси 0Х равно v(3^2+(-4)^2) = 5, до оси 0У - равно v(2^2+(-4)^2) = v20, до оси 0Z - v(2^2+3^2) = v13. Расстояние до начала координат определяется по обобщенной теореме Пифагора для пространства, то есть оно равно v(2^2+3^2+(-4)^2) = v29.
- Пусть углы BAD и СВD равны. Тогда треугольники АВС и DВС подобны, так как угол АСВ общий. Составляем отношение сторон треугольников:
ВС/АС = DС/ВС.
Откуда BC = √(AC⋅CD). Следовательно, только в этом случае возможно равенство углов.
- Коэффициент подобия треугольников DВС и АВС составляет:
ВС/АС = 6/9 = 2/3.
Тогда их биссектрисы относятся соответственно
СО/СL = 2/3, а отрезки
ОL/СО = 1/2.
На отдельном листке бумаги начертите треугольник АВС со сторонами АВ=АС=10, и стороной ВС=12. в середине стороны ВС поставьте точку D. Очевидно, что ВD=DС=6. Тогда по Пифагору находите АD равно 8. Теперь продолжите АD за точку D ещё на 8 и поставьте там точку S. Т.е. получился ромб АВSС со сторонами 10 см, и диагоналями ВС=12 и АS=16, но нам важнее, что АD=DS=8 см. Теперь согните листок по линии ВС и начните складывать его по этой линии. Первоначально, расстояние АS (на плоскости листа) было равно 16. Но по мере складывания оно начнет уменьшаться (в трехмерном пространстве). При полном складывании оно будет равно нулю. В этом процессе можно зафиксировать такое положение, когда расстояние АS равно 12. Можно взять проволочку длиной 12 см и приложит её в этот момент к точкам А и S. Вот это и будет Ваша пирамида.
Теперь вернёмся чуть-чуть назад, к моменту до сгибания и складывания листа. Проведём мысленно через отрезок прямую АS (точнее через прямую в которой лежит отрезок АS) плоскость, перпендикулярную плоскости листа. Тогда при сгибании листа точки А, S и D будут оставаться в этой плоскости, и всегда образуют равнобедренный треугольник ASD, с постоянными, равными 8 сторонами DS и DА, и переменной стороной АS. Когда (при складывании) АS станет равно 12, остановимся. На середине АS поставим точку Е. Очевидно, что АЕ=ЕS=6. Поскольку треугольник ASD - равнобедренный, то его медиана DЕ будет являться и его высотой, а треугольники АDЕ и SDE - прямоугольными. Из них по Пифагору получаем DЕ=√(8^2-6^2)=√28=2√7.
Отрезок DЕ и будет расстоянием между прямыми АS и ВС.
