Question

Исследуйте функцию y=x-x^3 на монотонность и экстремумы,постройте график

Answer 1

Y'=1-3x² - это производная
1-3x²=0
3x²=1
x²=1/3
х=+-1/√3 или (√3)/3 (это примерно 0,58)
Воспользуемся методом интервалов.
Начерти прямую, отметь на ней две точки, левую подпиши ее -1/√3, а правую 1/√3. Это точки экстремумов.
Подставь в формулу производной число, которое меньше -1/√3 (например, -1): y'(-1)=1-3=-2. Слева от точки -1/√3 поставь минусик. 
Теперь подставь значение между -1/√3 и 1/√3 (например, 0). y'(0)=1 (т.е. >0). Между точками ставь плюсик.
Теперь  значение, которое больше 1/√3, например 1. y'(1)=1-3=-2. Снова отрицательное значение. Справа от точки 1/√3 ставь минус.

На тех промежутках, где у нас стоит плюс, функция непрерывна и возрастает (это промежуток от -1/√3 до 1/√3). Над плюсом можем поставить стрелочку, ведущую вверх (как бы в горку). 
С минусами - обратная картина - на этих промежутках функция убывает. Над минусами ставим стрелочку "с горки".
У нас получилась такая картина: стрелочки вниз - вверх - снова вниз. Т.е. точка -1/√3 оказалась точкой минимума, а 1/√3 - точкой максимума функции. Всё!