Сэкономить время не получится по той лишь причине, что надо все упаковать, разобрать, вынести, погрузить. И на это уйдет ровно столько времени, сколько потребуется.
С другой стороны, если речь идет о почасовом найме машины, то тут все просто. Заранее все надо упаковать, сложить. Затем вынести вниз к назначенному часу продъезда машины, толпой, как можно больше человек все погрузить, затем машина переезжает к новому месту, и там необходимо быстро все выгрузить, оплатить машину и отпустить. Потом уже заниматься перетаскиванием вещей.
Никакой экономии при переезде быть не может. Паковать надо все тщательно, продуманно. Ну и вытаскивать все в определенной последовательности, не забывая, что то, что будет вытащено в последнюю очередь, в машину пойдет первым, и выгружаться будет первым.
Народ нужен, для экономии времени.
Второй вариант - съехать из старой квартиры, ничего не забирая. Оставить все в ней и уехать.