Нет, эти слова не однокоренные.
О моркови
о радости
о языке
о народе
о битве
о весельи
о значении
об истории
Березовой роще чему? Д.п, в березовой роще в чем? П.п
Раннего утра чего? Р.п, ранним утром чем? Т.п
Весенним гостям кому? Д.п весенних гостей кого? Р.п
Белоносым грачом кем? Т.п белоносого грача кого? Р.п
Парная согласная на конце слова (б-п)
Корень-зайч, так-как суффикс онок (енок)