Question

Составить уравнение касательной к плоскости и нормали к данной поверхности в данной точке.

√4+х^2+y^2 выражение все под корнем

точка(3;6;7)

Answer 1

поверхност задана в явном виде

$z(x,y)=\sqrt{4+x^2+y^2};$

Частные производные равны

$z'_x=\frac{1}{2\sqrt{4+x^2+y^2}}*(2x)=\frac{x}{\sqrt{4+x^2+y^2}};\\\\z'_y=\frac{y}{\sqrt{4+x^2+y^2}}$

Значение частных производнхых в данной точке равны

$z'_x|(3;6;7)=\frac{3}{\sqrt{4+3^2+6^2}}=\frac{3}{\sqrt{4+9+36}}=\frac{3}{7};\\\\z'_y|(3;6;7)=\frac{6}{7}$

Уравнение касательной

$z'_x |(x_o;y_o;z_o)*(x-x_o)+z'_y |(x_o;y_o;z_o)*(y-y_o)=z-z_0;\\\\ \frac{3}{7}*(x-3)+\frac{6}{7}*(y-6)=z-7;\\\\ 3(x-3)+6(y-6)=7(z-7);\\\\ 3x-9+6y-36-7z+49=0;\\\\ 3+-6y-7z+4=0;$

Координаты нормали

$(-\frac{z'_x|(x_o;y_o;z_o)}{\sqrt{(z'_x|(x_o;y_o;z_o))^2+(z'_y|(x_o;y_o;z_o))^2+1}};-\frac{z'_y|(x_o;y_o;z_o)}{\sqrt{(z'_x|(x_o;y_o;z_o))^2+(z'_y|(x_o;y_o;z_o))^2+1}};1)=$

$(-\frac{\frac{3}{7}}{\sqrt{(\frac{3}{7})^2+(\frac{6}{7})^2+1}};-\frac{\frac{3}{7}}{\sqrt{(\frac{6}{7})^2+(\frac{6}{7})^2+1}};1}=\\\\ (-\frac{3}{\sqrt{46}};-\frac{6}{\sqrt{46}};1)$

Уравнение нормали

$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_o}{m}=\frac{z-z_0}{n};\\\\ \frac{x-3}{-\frac{3}{\sqrt{46}}}=\frac{y-5}{-\frac{6}{\sqrt{46}}}=\frac{z-7}{1}$