Пишем функцию площади от длины стороны прямоугольника:
Находим экстремум:
Так, как
это длина стороны он не может получать отрицательные значения, следовательно экстремум всего один 
Находим
(хотя одного отношения радиуса к стороне достаточно, чтоб сказать что фигура - квадрат):
Что и требовалось доказать.
Находим экстремум:
Так, как
Находим
Что и требовалось доказать.