Простое предложение с однородными сказуемыми: Я - подлежащее, слышал , не видел - однородные сказуемые, слышал кого? кукушку - дополнение, много раз - обстоятелство, но - противительный союз, ее - дополнение, никогда - обстоятельство.
Грамматическая основа " мы рады" есть
Да, исконно русское. Восходит к православному слову. В словаре посмотрела.
В этом предложении "что" является союзное слово))