Question

Написать каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет ε = 3/5.

Answer 1

Канонический вид эллипса имеет вид:

$\frac{ x^{2} }{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}=1$

Нужно найти а и b.

Найдем фокальное расстояние $c= \frac{F_1F_2}{2}$.
$F_1F_2=6 \ =>c= \frac{6}{2}=3$.
Зная, что $\varepsilon = \frac{3}{5}, \ \varepsilon = \frac{c}{a} \ =>a= \frac{c}{\varepsilon}=3: \frac{3}{5}=3* \frac{5}{3}=5 \\ a=5$

Зная формулу нахождения b, получим:
$b= \sqrt{a^2-c^2}= \sqrt{5^2-3^2}= \sqrt{25-9}= \sqrt{16}=4 \\ b=4$

Теперь можем составить каноническое уравнение эллипса:
$\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{4^2} =1 \\ \\ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} =1$