ДАНО
Y(x) =(x²+1)/(x²-1)
ИССЛЕДОВАНИЕ
1.Область определения D(x). x²≠1, x ≠ +/-1. - два разрыва.
Х∈(-∞;-1)∪(-1;+1)∪(1;+∞). Две вертикальные асимптоты: х=-1 и х=1.
<span>2.
Пересечение с осью Х - нет. </span>
<span>3. Пересечение
с осью У. У(0) = -1</span>.
<span>4. Поведение на
бесконечности и в точках разрыва.</span>
![Y= \lim_{x \to \infty} \frac{Y(x)}{x^2}= \frac{1+0}{1-0}=1](https://tex.z-dn.net/?f=Y%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7BY%28x%29%7D%7Bx%5E2%7D%3D++%5Cfrac%7B1%2B0%7D%7B1-0%7D%3D1++)
Горизонтальная асимптота - Y=1.
lim(-1-)Y(x)= +∞,lim(-1+)Y(x)= -∞,lim(1-)Y(x)= -∞,lim(1+)= +∞,
5. Исследование на
чётность.Y(-x) = Y(x).
Функция чётная.
6.
Производная функции.Y'(x).
![Y'(x)= \frac{2x}{x^2-1}- \frac{2x(x^2+1)}{(x^2-1)^2}=0](https://tex.z-dn.net/?f=Y%27%28x%29%3D+%5Cfrac%7B2x%7D%7Bx%5E2-1%7D-+%5Cfrac%7B2x%28x%5E2%2B1%29%7D%7B%28x%5E2-1%29%5E2%7D%3D0++)
<span>Корень при Х=0. </span>
7. Локальный экстремум - максимум Ymax(0)= - 1.
8. Интервалы
возрастания и убывания.
Возрастает - Х∈(-∞;-1)∪(-1;0), убывает = Х∈(0;1)∪ (1;+∞).
8.
Вторая производная - Y"(x) = ?.
Корней - нет. Точек перегиба - нет.
9. Выпуклая “горка» Х∈(-1;1), Вогнутая – «ложка» Х∈(-∞;-1)∪ (1;+∞).
10. Наклонная асимптота. Уравнение: lim(oo)(k*x+b – f(x). k=lim(oo)Y(x)/x = 1 - совпадает с горизонтальной.
11. График в приложении.