Y=1/(X^2-1) 1)D(y)=(-беск;-1) (-1;1) (1;+беск), т.к. x^2-1=0; x^2=1;x=+-1 2) y=0; 1/(x^2-1)=0 решений не имеет, график не пересекает ось х пересекает ось у х=0; у=1/(0-1)=-1; (0;-1) 3)у>0 ; x^2-1>0; x^2>1; (-,беск; -1) (1;+беск) y<0; x^2-1<0; x^2<1; (-1;1) 4) y=f(x); f(-x)=1/((-x)^2-1)=1/(x^2-1)=f(x); заданная ф-я чётная её график симметричен относительно оси у 5)непериодическая; 6) х=-1 и х=1-вертикальные асимптоты (знаменатель обращается в 0!) Они и есть точки разрыва 7) y '=-1/(x^2-1)^2 *(x^2-1)'=-2x/(x^2-1)^2; -2x=0; x=0 (x^2-1)^2>0!; -2x>0 => x<0, -2x<0 =>x>0 y ' + + - - ------- -1 -----------0--------------1--------- y возрас тает убывает убывает х=0-точка макс; (0;-1) 8)y ''=-(2x/(x^2-1)^2)'=-(2(x^2-1)^2-2x* 2(x^2-1)*2x)/(x^2-1)^4=-((x^2-1)(2x^2-2-8x))/(x^2-1)^4=-(2x^2-8x-2)/(x^2-1)^3 y ''=0 дальше сами
1) Область определения функции. ОДЗ:<span>Точки, в которых функция точно неопределена: x=1, x=-1, </span>кроме этих точек -00<x<+00<span> </span>2) Точка пересечения графика функции с осью координат Y:<span>График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в 1/(x^2-1). Результат: y=-1. Точка: (0, -1)</span>Точки пересечения графика функции с осью координат X:<span>График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:1/(x^2-1) = 0Решаем это уравнение и его корни будут точками пересечения с X: Нету корней, значит график функции не пересекает ось X. 3)Знаки: -1<x<1 y<0 -1>x>1 y>0 7) </span>Экстремумы функции:<span>Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y'=-2*x/(x^2 - 1)^2=0 Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:x=0. Точка: (0, -1)</span>Интервалы возрастания и убывания функции:<span>Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумов у функции нетуМаксимумы функции в точках:0Возрастает на промежутках: (-oo, 0]Убывает на промежутках: [0, oo)</span>Точки перегибов графика функции:<span>Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции, + нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=8*x^2/(x^2 - 1)^3 - 2/(x^2 - 1)^2=0lim y'' при x->+1 lim y'' при x->-1 (если эти пределы не равны, то точка x=1 - точка перегиба)
lim y'' при x->+-1 lim y'' при x->--1 (если эти пределы не равны, то точка x=-1 - точка перегиба) Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:x=1. Точка: (1, oo)x=-1. Точка: (-1, oo)</span>8) Интервалы выпуклости, вогнутости:<span>Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов:Вогнутая на промежутках: (-oo, -1] U [1, oo)Выпуклая на промежутках: [-1, 1]</span>9)Вертикальные асимптотыЕсть: x=1 , x=-1Горизонтальные асимптоты графика функции:<span>Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим:lim 1/(x^2-1), x->+oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты справа: y=0lim 1/(x^2-1), x->-oo = 0, значит уравнение горизонтальной асимптоты слева: y=0</span>Наклонные асимптоты графика функции:<span>Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы lim 1/(x^2-1)/x, x->+oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой слеваlim 1/(x^2-1)/x, x->-oo = 0, значит совпадает с горизонтальной асимптотой справа</span>4)Четность и нечетность функции:<span>Проверим функци четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:1/(x^2-1) = 1/(x^2 - 1) - Да1/(x^2-1) = -(1/(x^2 - 1)) - Нетзначит, функция является чётной</span>