Question

Найти общее решение дифференциального уравнения:y"+2y'+y=3x^2+2

Answer 1

$y''+2y'+y=0 \\ y=e^{kx} \\ k^2e^{kx}+2ke^{kx}+e^{kx}=0 \\ e^{kx}(k^2+2k+1)=0 \\ k^2+2k+1=0 \\ (k+1)^2=0 \\ y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x} \\\\ y^*=Ax^2+Bx+C\\ y'^{*}=2Ax+B \\ y''^*=2A \\\\ 2A+2*(2Ax+B)+Ax^2+Bx+C=3x^2+2 \\ Ax^2=3x^2; A=3 \\ 4Ax+Bx=0x;4A+B=0; 12+B=0; B=-12 \\2A+2B+C=2; 6-24+C=2; C=20 \\\\ y^*=3x^2-12x+20 \\\\ Y=C_1e^{-x}+C_2xe^{-x}+3x^2-12x+20$