Речевые ошибки есть во всех представленных предложениях
Первое предложение. Правильно - "Главный режиссер считает, что без финансовой поддержки театр существовать не может."
Второе предложение. Правильно - "Чувства, которые чисты и бескорыстны, тоже исчезают."
Третье предложение. Правильно - "Я хотел обратиться к вам еще по поводу того, что сделать, чтобы прекратить информационное ухудшение."
Четвертое предложение. Правильно - "Путники медленно двигались, проклиная трудности дороги."
Пятое предложение. Правильно - "Президент попросил доложить обо всем, что сейчас происходит."
Моя территория............................................
Горстка-горсть;
участник-участие;
солнце-солнышко.
Огонь- огня, день - дня -в корне
Сыночек - (нет) сыночка, денёчек - (нет) денёчка - в суффиксе
Переломил - преломил - в приставке