Question

Sin^2(2x)+sin^2(3x)=1

Answer 1

Sin^2 (2x) = 1 - sin^2 (3x) = cos^2 (3x)
Возможны два случая
1) sin 2x = -cos 3x
2sin x*cos x = -cos x*(4cos^2 x - 3) = cos x*(3 - 4cos^2 x)
a) cos x = 0; x1 = pi/2 + pi*k
b) 2sin x = 3 - 4cos^2 x = 3 - 4 + 4sin^2 x = 4sin^2 x - 1
4sin^2 x - 2sin x - 1 = 0
Получили квадратное уравнение относительно sin x
D/4 = 1 + 4 = 5
sin x = (1 - √5)/4 ~ -0,309 > -1 - подходит
x2 = arcsin( (1 - √5)/4 ) + 2pi*n
x3 = pi - arcsin( (1 - √5)/4 ) + 2pi*n
sin x = (1 + √5)/4 ~ 0,809 < 1 - подходит
x4 = arcsin( (1 + √5)/4 ) + 2pi*n
x5 = pi - arcsin( (1 + √5)/4 ) + 2pi*n

2) sin 2x = cos 3x
2sin x*cos x = cos x*(4cos^2 x - 3)
a) cos x = 0; x6 = x1 = pi/2 + pi*k
b) 2sin x = 4cos^2 x - 3 = 4 - 4sin^2 x - 3 = 1 - 4sin^2 x
4sin^2 x + 2sin x - 1 = 0
Получили квадратное уравнение относительно sin x
D/4 = 1 + 4 = 5
sin x = (-1 - √5)/4 ~ -0,809 > -1 - подходит
x7 = arcsin( (-1 - √5)/4 ) + 2pi*n
x8 = pi - arcsin( (-1 - √5)/4 ) + 2pi*n
sin x = (-1 + √5)/4 ~ 0,309 < 1 - подходит
x9 = arcsin( (-1 + √5)/4 ) + 2pi*n
x10 = pi - arcsin( (-1 + √5)/4 ) + 2pi*n