Question

Найти производную функции. Листочек с решением скиньте пжл.

Answer 1

Рассмотрим функцию двух переменных:
$F(x,y) = \sqrt{x^2-y^2}-\sqrt{2y^2-x^2}$

Для нахождения производной этой функции найдем частную производную по х, потом по y. А потом по формуле ниже найдем саму производную.

$\displaystyle y'=-\frac{F'_x}{F'_y}\\\\\\F'_x=(\sqrt{x^2-y^2}-\sqrt{2y^2-x^2})'\\\\\\F'_x=\frac{1}{2\sqrt{x^2-y^2}}*(x^2-y^2)'-\frac{1}{2\sqrt{2y^2-x^2}}(2y^2-x^2)'\\\\\\F'_x=\frac{2x-0}{2\sqrt{x^2-y^2}}+\frac{2x}{2\sqrt{2y^2-x^2}}=\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}+\frac{x}{\sqrt{2y^2-x^2}}\\\\\\\\F'_y=(\sqrt{x^2-y^2}-\sqrt{2y^2-x^2})'\\\\\\F'_y=\frac{1}{2\sqrt{x^2-y^2}}*(x^2-y^2)'-\frac{1}{2\sqrt{2y^2-x^2}}(2y^2-x^2)'$

$\displaystyle F'_y=\frac{-2y}{2\sqrt{x^2-y^2}}-\frac{4y}{2\sqrt{2y^2-x^2}}=\frac{-y}{\sqrt{x^2-y^2}}-\frac{2y}{\sqrt{2y^2-x^2}}\\\\\\\\y'=-\frac{F'_x}{F'_y}=-\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2-y^2}}+\frac{x}{\sqrt{2y^2-x^2}}}{\frac{-y}{\sqrt{x^2-y^2}}-\frac{2y}{\sqrt{2y^2-x^2}}}=\frac{\frac{x\sqrt{2y^2-x^2}+x\sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{(x^2-y^2)(2y^2-x^2)}}}{\frac{y\sqrt{2y^2-x^2}+2y\sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{(x^2-y^2)(2y^2-x^2)}}}=\\\\\\=\boxed{\frac{x\sqrt{2y^2-x^2}+x\sqrt{x^2-y^2}}{y\sqrt{2y^2-x^2}+2y\sqrt{x^2-y^2}}}$