Ответ: 1) 5/18*(arctg 3x-4)^(6/5)+C; 2) √[(2-x)*(x-4)]-(3-x)*arccos(3-x)+C.
Пошаговое объяснение:
1. ∫(arctg 3x-4)^(1/5)*dx/(9x²+1). Замечаем, что dx/(9x²+1)=1/3*d(arctg 3x), поэтому данный интеграл можно записать в виде 1/3*∫(arctg 3x-4)^(1/5)*d(arctg 3x). Если обозначить arctg 3x=t, то данный интеграл примет вид 1/3*∫(t-4)^(1/5)*dt=1/3*∫(t-4)^(1/5)*d(t-4). Полагая, наконец, t-4=u, запишем этот интеграл в виде 1/3*∫u^(1/5)*du=5/18*u^(6/5)+C=5/18*(t-4)^(6/5)+C=5/18*(arctg 3x-4)^(6/5)+C.
2. ∫arccos(3-x)*dx=-∫arccos(3-x)*d(3-x). Полагая 3-x=t, запишем этот интеграл в виде -∫arccos(t)*dt. Обозначим через I интеграл ∫arccos(t)*dt, к которому применим метод интегрирования "по частям". Пусть u=arccos(t), dv=dt. Тогда du=-dt/√(1-t²) и v=t, откуда I=u*v-∫v*du=t*arccos(t)+∫t*dt/√(1-t²)=t*arccos(t)-1/2*∫d(1-t²)/√(1-t²)=t*arccos(t)-√(1-t²)+C1. Тогда искомый интеграл равен -I=√(1-t²)-t*arccos(t)-C1=√(1-t²)-t*arccos(t)+C, где C=-C1 - произвольная постоянная. Возвращаясь к переменной x, получаем√[(2-x)*(x-4)]-(3-x)*arccos(3-x)+C.