Question

В остроугольном треугольник АВС проведены высоты AD, BE, CF. Оказалось что четырех кнольник FBDE-ромб. Докажите, что треугольник АВС -равносторонний

Answer 1

Диагонали ромба FBDE делятся точкой пересечения O пополам и взаимно перпендикулярны. Поскольку прямые DF и AC перпендикулярны BE, они параллельны между собой. Значит, прямая DF является средней линией в треугольниках ABE и CBE, то есть точки D и F - середины сторон BC и AB соответственно. Таким образом, высоты AD и CF являются медианами, откуда AB = AC и BC = AC, то есть треугольник ABC - равносторонний.