Question

Решить систему уравнений с двумя переменными:

Answer 1

$\begin{cases}x^2+xy+y^2=3 \\ xy(x^2+y^2)=2 \right \end{cases}$
Замена: х²+у²=а; xy=b
Система принимает вид:
$\begin{cases}a+b=3 \\ ab=2 \right \end{cases} \\\ a=3-b \\\ (3-b)b=2 \\\ 3b-b^2=2 \\\ b^2-3b+2=0 \\\ (b-1)(b-2)=0 \\\ b-1=0; \ b_1=1\Rightarrow a_1=3-1=2 \\\ b-2=0; \ b_2=2\Rightarrow a_2=3-2=1$
Возвращаемся к исходным переменным. Первый случай:
$\begin{cases}x^2+y^2=2 \\ xy=1 \right \end{cases} \\\ x= \frac{1}{y} \\\ ( \frac{1}{y} )^2+y^2=2 \\\ y^2-2\cdot y\cdot \frac{1}{y} +( \frac{1}{y} )^2=0 \\\ (y- \frac{1}{y} )^2=0 \\\ y- \frac{1}{y} =0 \\\ y= \frac{1}{y} , \ y \neq 0 \\\ y^2=1 \\\ y_1=1\Rightarrow x_1= \frac{1}{1} =1 \\\ y_2=-1\Rightarrow x_2= \frac{1}{-1} =-1$
Второй случай:
$\begin{cases}x^2+y^2=1 \\ xy=2 \right \end{cases} \\\ x= \frac{2}{y} \\\ ( \frac{2}{y} )^2+y^2=1 \\\ \frac{4}{y^2}+y^2-1=0 , \ y \neq 0 \\\ y^4-y^2+4=0 \\\ D=(-1)^2-4\cdot1\cdot4\ \textless \ 0$
Во втором случае решений не получили
Ответ: (1;1); (-1; -1)