Question

Помогите, пожалуйста! Срочно надо!Эти примеры из темы "Метод интервалов".
Найдите целые решения неравенств:

Answer 1

1)
ОДЗ: x²-1≠0
         x≠1   и   x≠ -1

$\frac{11-2x^2}{x^2-1}-1 \geq 0 \\ \\ \frac{11-2x^2-x^2+1}{x^2-1} \geq 0 \\ \\ \frac{-3x^2+12}{x^2-1} \geq 0 \\ \\ \frac{-3(x^2-4)}{x^2-1} \geq 0 \\ \\ \frac{x^2-4}{x^2-1} \leq 0 \\ \\ \frac{(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+1)} \leq 0$

(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)≤0
x=2     x= -2    x=1     x= -1
    +             -                +                -                 +
------ -2 --------- -1 ------------ 1 ------------- 2 -----------
          \\\\\\\\\\\\\                         \\\\\\\\\\\\\\\\\
x∈[-2; -1)U(1;2]
x= -2 и x=2 - целые решения н∈равенства
Ответ: -2;  2.

2.
ОДЗ: x≠1  и   x≠ -1

$\frac{x^2-3}{x^2-1}-1\ \textgreater \ 0 \\ \\ \frac{x^2-3-x^2+1}{x^2-1}\ \textgreater \ 0 \\ \\ \frac{-2}{x^2-1}\ \textgreater \ 0$
x²-1<0
(x-1)(x+1)<0
x=1     x= -1
    +                -                 +
-------- -1 ------------ 1 -------------
                \\\\\\\\\\\\\\
x∈(-1; 1)
x=0 - целое решение неравенства
Ответ: 0.

3.
ОДЗ:  x²+x+1≠0
          x²+x+1=0
          D=1-4<0
          нет решений.
х - любое число.

$\frac{2x^2+2x+11-5(x^2+x+1)}{x^2+x+1}\ \textgreater \ 0 \\ \\ \frac{2x^2+2x+11-5x^2-5x-5}{x^2+x+1}\ \textgreater \ 0 \\ \\ \frac{-3x^2-3x+6}{x^2+x+1}\ \textgreater \ 0 \\ \\ \frac{-3(x^2+x-2)}{x^2+x+1}\ \textgreater \ 0 \\ \\ \frac{x^2+x-2}{x^2+x+1}\ \textless \ 0$

Знаменатель  x²+x+1>0  при любом значении х.
Решение неравенства зависит от числителя.
x²+x-2<0
Разложим на множители:
x²+x-2=0
D=1+8=9
x₁=(-1-3)/2= -2
x₂=(-1+3)/2=1

x²+x-2=(x+2)(x-1)

(x+2)(x-1)<0
x= -2    x= 1
      +               -                 +
--------- -2 ------------ 1 -------------
                 \\\\\\\\\\\\\\
x∈(-2; 1)
x= -1  и   x=0 - целые решения неравенства.
Ответ: -1;  0.

4.
ОДЗ: x≠3  и   x≠ -3

$\frac{x^2+7x-78-5(x^2-9)}{x^2-9} \geq 0 \\ \\ \frac{x^2+7x-78-5x^2+45}{x^2-9} \geq 0 \\ \\ \frac{-4x^2+7x-33}{x^2-9} \geq 0 \\ \\ \frac{-(4x^2-7x+33)}{x^2-9} \geq 0 \\ \\ \frac{4x^2-7x+33}{x^2-9} \leq 0$

Рассмотрим числитель 4x²-7x+33.
f(x)=4x²-7x+33 - это парабола, ветви направлены вверх.
4x²-7x+33=0
D=49-4*33=49-132<0
нет решений.
Значит, функция не пересекает ось ОХ.
Парабола лежит выше оси ОХ.
4x²-7x+33>0 при любом значении х.

Решение неравенства зависит от знаменателя:
x²-9<0
(x-3)(x+3)<0
x=3    x= -3
     +                -                 +
--------- -3 ------------- 3 -----------
                \\\\\\\\\\\\\\\\\
x∈(-3; 3)
x=-2; -1; 0; 1; 2 - целые решения неравенства.
Ответ: -2; -1; 0; 1; 2.