Question

Помогите, пожалуйста. С решением))

Answer 1

$b_{1} = 9$

$b_{n+1} = -3 \cdot \dfrac{1}{b_{n}}, \ n > 1$

Найдем значение $b_{n+1}$ при $n = 2:$

$b_{3} = -3 \cdot \dfrac{1}{b_{2}}$

Выразим $b_{2}: \ b_{2} = \dfrac{-3}{b_{3}}$

Проверим, может ли эта последовательность быть арифметической прогрессией. Для этого воспользуемся характеристическим свойством арифметической прогрессии:

$b_{2} = \dfrac{b_{1} + b_{3}}{2}; \ \ \ \dfrac{-3}{b_{3}} = \dfrac{9 + b_{3}}{2}; \ \ \ b_{3}(9 + b_{3}) = -3 \cdot 2; \ \ \ 9b_{3} + b_{3}^{2} = -6;\\\\b^{2}_{3} + 9b_{3} + 6 = 0\\D = 9^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 81 - 24 = 57$

На этом можно остановится. Арифметической прогрессией это быть не может.

Проверим, может ли эта последовательность быть геометрической прогрессией. Для этого воспользуемся характеристическим свойством геометрической прогрессии: $b_{2}^{2} = b_{1}\cdot b_{3}$

$\bigg(\dfrac{-3}{b_{3}} \bigg)^{2} = 9 \cdot b_{3}$

$\dfrac{9}{b_{3}^{2}} = 9b_{3}; \ \ \ b_{3} = 1$

$b_{2} = \dfrac{-3}{b_{3}} = \dfrac{-3}{1} = -3$

Найдем знаменатель этой прогрессии: $q = \dfrac{b_{2}}{b_{1}} = \dfrac{-3}{9} = -\dfrac{1}{3}$

Найдем 5-й член этой последовательности: $b_{5} = b_{1} \cdot q^{4} = 9 \cdot \bigg(-\dfrac{1}{3} \bigg)^{4} = \dfrac{3^{2}}{3^{4}} = \dfrac{1}{9}$

Ответ: $\dfrac{1}{9}$