Question

Доброго всем дня помогите пожалуйста с неоднородным дифференциальным уравнением Cпасибо :)

Answer 1

Метод Лагранжа

1) Найдем сначала общее решение однородного уравнения
$y''+4y=0$

Для этого воспользуемся методом Эйлера.
Пусть $y=e^{kx}$, тогда получаем характеристическое уравнение
$k^2+4=0$
$k=\pm 2i$

Общее решение однородного уравнения $y_o=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$

2) Определим функции $C_1(x),\,\, C_2(x)$ из решения следующей системы
$\displaystyle \left \{ {{C_1'(x)\cos2x+C_2'(x)\sin2x=0} \atop {-2C_1'\sin 2x+2C_2'(x)\cos 2x= \frac{2}{\sin2x} }} \right.$

Решаем систему методом Крамера.

$\det (X)= \left|\begin{array}{ccc}\cos 2x& &\sin2x\\ -2\sin2x&& 2\cos2x\end{array}\right|=2\cos^22x+2\sin^22x=2$

$\det(X_1)= \left|\begin{array}{ccc}0&&\sin2x\\ \frac{2}{\sin2x} && 2\cos 2x\end{array}\right|=-2$

$\det(X_2)= \left|\begin{array}{ccc}\cos 2x&&0\\ -2\sin2x&&\frac{2}{\sin2x}\end{array}\right|= \frac{2\cos2x}{\sin2x}$

Тогда

$C_1'(x)= \dfrac{\det(X)}{\det(X_1)}=-1\\ \\ C_2'(x)= \dfrac{\det(X)}{\det(X_2)}= \dfrac{1}{tg2x}$

Интегрируя обе части, имеем

$\displaystyle \left \{ {{C_1(x)=-x+C_1} \atop {C_2= \frac{1}{2}\ln|\sin2 x| +C_2}} \right.$

Общее решение неоднородного уравнения:

$\boxed{x=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x-x\cos 2x+ \frac{1}{2}\sin2x\ln|\sin2x| }$