Question

Найти все четверки натуральных чисел a, b, c и d такие , что все числа больше 1 и выполняется система. В ответ укажите наибольшее из произведений a•b•c•d, умноженное на количество возможных четвёрок.

Answer 1

Во-первых, заменим a^2 и b^2 соответственно на x и y, чтобы было проще.
Но помним, что x и y - квадраты, то есть должно быть: x >= 0; y >= 0.
Тогда для любого решения a = √x; b = √y, потому что а и b - натуральные.
{ x + ycd = 313
{ xc + yd = 172
{ xcd + y = 236
{ xd + yc = 194
Сложим 1 и 3 уравнения, а также 2 и 4 уравнения
{ x + ycd + xcd + y = (x + y)(cd + 1) = 313 + 236 = 549 = 3*3*61
{ xc + yd + xd + yc = (x + y)(c + d) = 172 + 194 = 366 = 2*3*61
Получаем три варианта:
1)
{ x + y = 3
{ cd + 1 = 61*3 = 183; cd = 182
{ c + d = 2*61 = 122
Решений нет, потому что сумма двух квадратов не может равняться 3.

2)
{ x + y = 61; x1 = 25, y1 = 36; x2 = 36, y2 = 25
{ cd + 1 = 9; cd = 8
{ c + d = 6
По теореме Виета числа c и d являются корнями уравнения
t^2 - 6t + 8 = 0
(t - 2)(t - 4) = 0
c1 = 2, d1 = 4; c2 = 4, d2 = 2
a1 = √(x1) = √25 = 5; a2 = √(x2) = √36 = 6
b1 = √(y1) = √36 = 6; b2 = √(y2) = √25 = 5
Итак, получили такие решения:
(a;b;c;d) = (5;6;2;4); (5;6;4;2); (6;5;2;4); (6;5;4;2)

3)
{ x + y = 3*61 = 183
{ cd + 1 = 3; cd = 2
{ c + d = 2
Решений нет, из 3 уравнения c = d = 1, не подходит ко 2 уравнению.
И число 183 не равно сумме двух квадратов.
Итоговое решение: (a;b;c;d) = (5;6;2;4); (5;6;4;2); (6;5;2;4); (6;5;4;2)
Произведения a*b*c*d = 6*5*2*4 = 30*8 = 240 все одинаковые, здесь нет наибольшего; количество четверок равно 4.
Ответ: 240*4 = 960.