Ответ:
1. АВ = СД = 18 см, ВС = АД = 9 см
2. ∠В = 110°, ∠А = 70°.
3. ∠А = 90°, ∠В = 90°, ∠С = 120°, ∠Д = 60°
4. АС = ВД = 12 см
Объяснение:
1. В параллелограмме АВСД АВ > ВС в 2 раза.
Противолежащие стороны параллелограмма имеют одинаковую длину: АВ = СД, ВС = АД
Периметр параллелограмма находят как удвоенную сумму двух его сторон: P=2(a+b)
Пусть сторона ВС = х см, тогда АВ = 2х см
Составим уравнение:
54 = 2 * (х + 2х) = 2 * 3х = 6х
х = 54 : 6
х = 9 (см) длина стороны ВС и АД
9 * 2 = 18 (см) длина стороны АВ и СД
2. Пусть ∠В = х°, тогда ∠А = х - 40°.
Зная, что сумма смежных (соседних) углов А и В параллелограмма равна 180 градусов, составим уравнение:
х + (х - 40) = 180
2х = 180 + 40
2х = 220
х = 220 : 2 = 110° <u>∠В,</u> тогда <u>∠А </u>= 110° - 40° = 70°
3. В прямоугольной трапеции два угла — прямые, один — острый и один — тупой. Сумма всех углов = 360°.
АВСД - прямоугольная трапеция. ∠А, прямой = 90°, ∠В, прямой = 90°, ∠С, тупой = 120°, ∠Д, острый = 360 - (90 + 90 + 120) = 360 - 300 = 60°
4. Согласно свойствам прямоугольника, диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину и каждая диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника, значит Δ АВД = Δ САД.
В Δ АВД ∠В = 30°, АД = 6 см - катет, лежащий против ∠В = 30° и равен половине гипотенузы ВД. Значит, ВД = 6 * 2 = 12 см, ВД = АС = 12 см.
5. Дано: АВСД - четырёхугольник, ∠А+ ∠В = 180° , ∠ С+ Д = 180°
Доказать: АВСД - параллелограмм
Доказательство:
1. угол А и угол В - односторонние при прямых АД, ВС и секущей АВ. Так как по условию угол А + угол Б = 180 градусам, то по признаку АД||ВС
2. угол В, угол С - односторонние при прямых АВ, СД и секущей ВС. Так как по условию угол В + угол С = 180 градусам, то по признаку АВ||СД.
3. Так как АД||ВС и АВ||СД, то по определению АВСД - параллелограмм.
6. Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. Значит, угол К = углу Н, и угол М = углу Р.
Угол К - тупой.
В Δ КРЕ угол РЕК = 90°. Угол ЕКР = углу МКЕ, но ≠ 30°, т.к. угол К - тупой. Значит, по условию задания, угол КРЕ = 30°. Угол ЕКР = 180 - 90 - 30 = 60°. Но угол ЕКР = углу ЕКМ = 60°, значит, угол К = 60 * 2 = 120°.
Угол К = углу Н = 120°.
Угол КРЕ = углу ЕРН = 30°, угол Р = углу М = угол КРЕ + угол ЕРН = 30 * 2 = 60°
<u>Ответ: </u> ∠ Р = ∠М = 60°; ∠К = ∠Н = 120°.
