Вопрос очень хороший, но все зависит от численности семьи, возрастного состава. Самые удобные соревнования в кругу семьи, в том числе маленькой, - это индивидуальные соревнования. Например, лыжные гонки зимой или бег наперегонки.
**
Но Автор вопроса просит командные соревнования. Тогда делитесь на две команды и на скорость лепите пельмени, например). И дух соревнования присутствует, и польза для семьи огромная).
**
Или попробуйте слепить двух снеговиков также на скорость. Или грядки на даче прополоть - кто быстрее и качественнее). Или какая команда быстрее съест чашку вишен).
Можно и канат поперетягивать, если силы есть у команд). Или в мешках побегать, что тоже очень смешно и классно).
Ну, Вы хоть бы наводку какую-то дали, в какой по составу и возрасту семье соревнования нужно устраивать))