Обозначим f(x)=x^4/(x^3-1) = x + x/(x^3-1) 1. Область определения: x не равно 1. 2. Область значений -- выясним позже, при рассмотрении поведения функции (см. п. 11) 3. Функция не является ни чётной, ни нечётной. 4. Точки пересечения с осями координат, в т. ч. нули. x=0 => y=0 f(x)=0 => x=0 5. Области знакопостоянства Функция может менять знак при переходе через нули или критические точки Нуль: 0; критическая точка x=1.(см. п. 6) В данном случае критическая точка является простой, поэтому при переходе через неё функция меняет знак. А вот нуль -- чётного порядка (4-го) , поэтому при переходе через него функция не меняет знака. Двигаемся справа налево по числовой оси: при x>1 y>0 при 02^(2/3) => f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает 1 f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает --------------------------------------------- При переходе через x=2^(2/3) f'(x) меняет знак с "-" на "+" => имеем локальный минимум x=2^(2/3); y=(4/3)*2^(2/3) --------------------------------------------- 0 f'(x)<0 => f(x) строго монотонно убывает x<0 => f'(x)>0 => f(x) строго монотонно возрастает --------------------------------------------- При переходе через x=0 f'(x) меняет знак с "+" на "-" => имеем локальный максимум x=0; y=0 7. Области выпуклости и вогнутости; точки перегиба. При x, не равном 1: f''(x) = -(2*(-1)*3x^2)/(x^3-1)^2 - (3*(-2)*3x^2)/(x^3-1)^3 = 6x^2/(x^3-1)^3 * (x^3-1+3) = 6x^2(x^3+2)/(x^3-1)^3 Двигаясь по оси x справа налево и учитывая кратность корней и критической точки, получаем: x>1 => f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз 0 f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз -2^(1/3) f''(x)>0 => f(x) выпукла вниз --------------------------------------------- При переходе через x=0 f''(x) НЕ меняет знака => x=0 НЕ является точкой перегиба --------------------------------------------- x<-2(1/3) => f''(x)<0 => f(x) выпукла вверх --------------------------------------------- При переходе через x=-2^(1/3) f''(x) меняет знак => x=-2^(1/3) является точкой перегиба; y=-2*2^(1/3) 8. Возможные асимптоты. Вертикальная x=1, см. п. 6 Горизонтальных нет, т. к. конечного предела f(x) при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, не существует. Наклонная: y=x, т. к. при x, стремящемся к плюс/минус бесконечности, x/(x^3-1) стремится к плюс нулю (соответственно, график приближается к асимптоте сверху) 9. Симметричность графика. Осей и центров симметрии нет. 11. количество решений уравнения f(x)=y в зависимости от y -- см. комментарий (здесь не хватает места)