ДАНО
Y = (x²+1)/(x² - 1)
РЕШЕНИЕ
Рисунок с графиком в приложении.
ИССЛЕДОВАНИЕ
1.Область определения
D(x).
x²- 1 = (x+1)(x-1) ≠
0, x≠ +/-1. Два разрыва.
Х∈(-∞;-1)∪(-1;1)∪(1;+∞).
2. Вертикальные
асимптоты - две: Х=-1, Х=1.
3. Пересечение с осью
Х. Y=0 - нет.
3. Пересечение с
осью У. У(0) = -1.
4. Поведение на
бесконечности. Сокращаем на х² - числитель и знаменатель.
limY(-∞) = (1+0)/(1-0) = 1. Справа Y=1. limY(+∞) = 1.
Горизонтальная
асимптота - Y= 1.
5. Исследование на
чётность.Y(-x) = Y(x).
Функция чётная.
6. Производная
функции.
Корень при Х=0.
7. Локальные
экстремумы.
Максимум - Y(0) = -1 .
Минимума - нет.
8. Интервалы
монотонности.
Возрастает - Х∈[-∞;-1)∪(1;0], убывает
- X∈[0;1)∪(1;+∞)
9. Вторая производная
- Y"(x). Анализируем первую производную.
Максимума Y'(x) - нет
- точек перегиба НА ГРАФИКЕ - нет.
9. Выпуклая “горка» Х∈(-1;1), Вогнутая –
«ложка» Х∈(-∞;-1)∪(1;+∞).
10. Поведение в точках
разрыва.
lim(-1-)Y(x) = +∞,lim(-1+)Y(x) = -∞,lim(1-)Y(x) =-∞,lim(1+)Y(x) = +∞,
11. График в приложении.