Question

Log^2 2(x) + (x-1)log2(x)=6-2x

Answer 1

Log²₂ x + (x - 1)log₂ x = 6 - 2x. Положим log₂ x = a. Тогда x = 2ᵃ. Получаем уравнение: a² + (2ᵃ - 1)a = 6 - 2*2ᵃ  => a² - a - 6 = a*2ᵃ - 2*2ᵃ = -2ᵃ(a + 2)
Разложим левую часть на множители: a² - a - 6 = 0  => a₁*a₂ = -6 и a₁ + a₂ = 1  => a₁ = 3, a₂ = -2. Тогда уравнение примет вид: (a - 3)(a + 2) = -2ᵃ(a + 2)  => a - 3 = -2ᵃ или 2ᵃ + a - 3 = 0. Обозначим 2ᵃ = f₁(a) и a - 3 = f₂(a).Тогда наше уравнение является суммой двух функций: f₁(a) + f₂(a) = 0. Пусть сначала a > 0. Первая функция f₁(a) = 2ᵃ является показательной, причем поскольку 2 > 1, то она монотонно возрастает. Вторая функция
f₂(a) = a - 3 является линейной и т. к. a > 0, то и она будет монотонно возрастающей. Сумма двух монотонно возрастающих функций также будет монотонно возрастающей функцией, значит вся функция
f₁(a) + f₂(a) = 2ᵃ + a - 3 монотонно возрастает, а значит обращается в 0 только в одной точке. Легко видеть, что этой точке будет соответствовать значение a = 1. Действительно, 2¹ + 1 - 3 = 3 - 3 = 0. Пусть a = 0, тогда имеем log₂ x = 0 => x = 2⁰ = 1. Это значение x не удовлетворяет уравнению т. к. 0 + 0 ≠ 4. Теперь допустим, что a < 0. В этом случае при целых a < 0 левая часть равенства a = 3 - 2ᵃ отрицательна, тогда как правая остается всегда положительной, т. к. при целых a < 0, 3 - 2ᵃ > 2. При дробных a < 0 возможные корни не выражаются через элементарные функции и единственным целым корнем будет значение a = 1. Возращаясь к исходной переменной, имеем: log₂ x = 1 => x = 2.

Ответ: x = 2.