Ответ:
0
Пошаговое объяснение:
В исходном уравнении первые два слагаемых делятся на 2, значит и третье должно делиться на два. Тогда сделаем замену переменных
![z=2z_1](https://tex.z-dn.net/?f=z%3D2z_1)
Получится уравнение
![-4x^3+2y^3+8z_1^3=0](https://tex.z-dn.net/?f=-4x%5E3%2B2y%5E3%2B8z_1%5E3%3D0)
Сократим на 2:
![-2x^3+y^3+4z_1^3=0](https://tex.z-dn.net/?f=-2x%5E3%2By%5E3%2B4z_1%5E3%3D0)
Перепишем немного в другом виде:
![-4z_1^3+2x^3+(-y)^3=0](https://tex.z-dn.net/?f=-4z_1%5E3%2B2x%5E3%2B%28-y%29%5E3%3D0)
Мы получили в точности исходное уравнение, но в других переменных:
![(x,y,z)\to (z/2, x, -y)](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%2Cy%2Cz%29%5Cto%20%28z%2F2%2C%20x%2C%20-y%29)
(причем z/2 - целое). Произведем такую замену трижды:
![(x,y,z)\to (z/2, x, -y) \to (-y/2, z/2,-x) \to (-x/2,-y/2,-z/2)](https://tex.z-dn.net/?f=%28x%2Cy%2Cz%29%5Cto%20%28z%2F2%2C%20x%2C%20-y%29%20%5Cto%20%28-y%2F2%2C%20z%2F2%2C-x%29%20%5Cto%20%28-x%2F2%2C-y%2F2%2C-z%2F2%29)
Получили уравнение
![-4(-x/2)^3+2(-y/2)^3+(-z/2)^3=0](https://tex.z-dn.net/?f=-4%28-x%2F2%29%5E3%2B2%28-y%2F2%29%5E3%2B%28-z%2F2%29%5E3%3D0)
Или
![-4(x/2)^3+2(y/2)^3+(z/2)^3=0](https://tex.z-dn.net/?f=-4%28x%2F2%29%5E3%2B2%28y%2F2%29%5E3%2B%28z%2F2%29%5E3%3D0)
Таким образом числа x/2, y/2, z/2 должны быть целыми, то есть x, y, z должны делиться на 2.
Выполнив эту процедуру еще раз, мы докажем, что x/4, y/4, z/4 целые, т.е. x, y, z делятся на 4. Продолжая дальше мы докажем, что x, y, z должны делиться на весь ряд степеней двойки. Но на него делится только 0. А значит x, y, z все обязаны быть нулями. Тогда величина
![x^2+y^2+z^2](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E2%2By%5E2%2Bz%5E2)
может принимать только нулевые значения.