Данное уравнение - линейное неоднородное. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
![y'' + y = 0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27+%2B+y+%3D+0)
.
Характеристическое уравнение имеет вид
![k^2 + 1 = 0](https://tex.z-dn.net/?f=k%5E2+%2B+1+%3D+0)
.
Оно имеет комплексные сопряженные корни
![k_1_,_2 = \pm i](https://tex.z-dn.net/?f=k_1_%2C_2+%3D+%5Cpm+i)
,
значит общее решение однородного уравнения имеет вид
![\tilde{y} = C_1cosx + C_2sinx](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctilde%7By%7D+%3D+C_1cosx+%2B+C_2sinx)
.
Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде
![y = C_1(x)cosx + C_2(x)sinx](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+C_1%28x%29cosx+%2B+C_2%28x%29sinx)
,
где
![C_1(x),C_2(x)](https://tex.z-dn.net/?f=C_1%28x%29%2CC_2%28x%29+)
- некоторые пока неизвестные функции. Составим систему, из которой мы сможем найти эти неизвестные функции:
![\left \{ {{C_1'(x)cosx + C_2'(x)sinx = 0} \atop {-C_1'(x)sin(x)+C_2'(x)cosx=-ctg^2(x)}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7BC_1%27%28x%29cosx+%2B+C_2%27%28x%29sinx+%3D+0%7D+%5Catop+%7B-C_1%27%28x%29sin%28x%29%2BC_2%27%28x%29cosx%3D-ctg%5E2%28x%29%7D%7D+%5Cright.+)
Определитель данной системы равен:
![W = \left\begin{vmatrix}cosx&sinx\\-sinx&cosx\end{vmatrix}\right = cos^2x + sin^2x = 1](https://tex.z-dn.net/?f=W+%3D+++%5Cleft%5Cbegin%7Bvmatrix%7Dcosx%26sinx%5C%5C-sinx%26cosx%5Cend%7Bvmatrix%7D%5Cright+%3D+cos%5E2x+%2B+sin%5E2x+%3D+1)
.
Дополнительные определители равны:
![\Delta_{C'_1(x)} = \left\begin{vmatrix}0&sinx\\-ctg^2x&cosx\end{vmatrix}\right = ctg^2x*sinx = \frac{cos^2x}{sinx} \\ \Delta_{C'_2(x)} = \left\begin{vmatrix}cosx&0\\-sinx&-ctg^2x\end{vmatrix}\right = -cosx*ctg^2x = -\frac{cos^3x}{sin^2x}](https://tex.z-dn.net/?f=%5CDelta_%7BC%27_1%28x%29%7D+%3D+%5Cleft%5Cbegin%7Bvmatrix%7D0%26sinx%5C%5C-ctg%5E2x%26cosx%5Cend%7Bvmatrix%7D%5Cright+%3D+ctg%5E2x%2Asinx+%3D++%5Cfrac%7Bcos%5E2x%7D%7Bsinx%7D+%5C%5C+%5CDelta_%7BC%27_2%28x%29%7D+%3D+%5Cleft%5Cbegin%7Bvmatrix%7Dcosx%260%5C%5C-sinx%26-ctg%5E2x%5Cend%7Bvmatrix%7D%5Cright+%3D+-cosx%2Actg%5E2x+%3D+-%5Cfrac%7Bcos%5E3x%7D%7Bsin%5E2x%7D+)
.
Решение системы таково:
![\left \{ {{C'_1(x)= \frac{\Delta_{C'_1(x)}}{W} } \atop {C'_2(x)= \frac{\Delta_{C'_2(x)}}{W}}} \right. \\ \left \{ {{C'_1(x)= \frac{cos^2x}{sinx}} \atop {C'_2(x) = -\frac{cos^3x}{sin^2x}}} \right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft+%5C%7B+%7B%7BC%27_1%28x%29%3D+%5Cfrac%7B%5CDelta_%7BC%27_1%28x%29%7D%7D%7BW%7D+%7D+%5Catop+%7BC%27_2%28x%29%3D+%5Cfrac%7B%5CDelta_%7BC%27_2%28x%29%7D%7D%7BW%7D%7D%7D+%5Cright.+%5C%5C+%5Cleft+%5C%7B+%7B%7BC%27_1%28x%29%3D+%5Cfrac%7Bcos%5E2x%7D%7Bsinx%7D%7D+%5Catop+%7BC%27_2%28x%29+%3D+-%5Cfrac%7Bcos%5E3x%7D%7Bsin%5E2x%7D%7D%7D+%5Cright.)
.
Это производные, а нам нужны сами функции. Значит ищем интегралы:
![C_1(x) = \int{\frac{cos^2x}{sinx}} \, dx = \int{\frac{1-sin^2x}{sinx}} \, dx = \int{\frac{dx}{sinx}}-\int{sinx}} \, dx =](https://tex.z-dn.net/?f=C_1%28x%29+%3D++%5Cint%7B%5Cfrac%7Bcos%5E2x%7D%7Bsinx%7D%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%7B%5Cfrac%7B1-sin%5E2x%7D%7Bsinx%7D%7D+%5C%2C+dx+%3D+%5Cint%7B%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bsinx%7D%7D-%5Cint%7Bsinx%7D%7D+%5C%2C+dx+%3D)
![-\int{\frac{d(cosx)}{sin^2x}} \, dx + cosx =\int{\frac{d(cosx)}{cos^2x-1}} \, dx + cosx = \frac{1}{2} ln| \frac{cosx-1}{cosx+1} | + cosx + C_1](https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cint%7B%5Cfrac%7Bd%28cosx%29%7D%7Bsin%5E2x%7D%7D+%5C%2C+dx+%2B+cosx+%3D%5Cint%7B%5Cfrac%7Bd%28cosx%29%7D%7Bcos%5E2x-1%7D%7D+%5C%2C+dx+%2B+cosx+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+ln%7C+%5Cfrac%7Bcosx-1%7D%7Bcosx%2B1%7D+%7C+%2B+cosx+%2B+C_1)
.
![C_2(x) = -\int{ \frac{cos^3x}{sin^2x}} \, dx = -\int{ \frac{cos^2xd(sinx)}{sin^2x}} = \int{ \frac{sin^2x-1}{sin^2x}}\,d(sinx) = \int{d(sinx)}](https://tex.z-dn.net/?f=C_2%28x%29+%3D+-%5Cint%7B+%5Cfrac%7Bcos%5E3x%7D%7Bsin%5E2x%7D%7D+%5C%2C+dx+%3D+-%5Cint%7B+%5Cfrac%7Bcos%5E2xd%28sinx%29%7D%7Bsin%5E2x%7D%7D+%3D+%5Cint%7B+%5Cfrac%7Bsin%5E2x-1%7D%7Bsin%5E2x%7D%7D%5C%2Cd%28sinx%29+%3D+%5Cint%7Bd%28sinx%29%7D)
![-\int{ \frac{d(sinx)}{sin^2x}} = sinx + \frac{1}{sinx} + C_2](https://tex.z-dn.net/?f=-%5Cint%7B+%5Cfrac%7Bd%28sinx%29%7D%7Bsin%5E2x%7D%7D+%3D+sinx+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bsinx%7D+%2B+C_2)
, где
![C_1,C_2](https://tex.z-dn.net/?f=C_1%2CC_2)
- произвольные константы.
Осталось только записать решение в общем виде:
![y = (\frac{1}{2} ln| \frac{cosx-1}{cosx+1} | + cosx + C_1)cosx + (sinx + \frac{1}{sinx} + C_2)sinx](https://tex.z-dn.net/?f=y+%3D+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+ln%7C+%5Cfrac%7Bcosx-1%7D%7Bcosx%2B1%7D+%7C+%2B+cosx+%2B+C_1%29cosx+%2B+%28sinx+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bsinx%7D+%2B+C_2%29sinx)
.
При желании можно преобразовать полученный ответ.