6) y = e^(x-8)*arcctg(√x)
Здесь не l (то есть английское л), а е - экспонента
y ' = e^(x-8)*arcctg(√x) + e^(x-8)*(-1/(1+x))*1/(2√x) =
= e^(x-8)*[arcctg(√x) - 1/(2√x*(1+x)) ]
7) y = (tg(3x))^(x^2)
Производная от функции вида y = f(x)^(g(x)) - это сумма степенной и показательной производной.
y' = f^(g)*ln |f|*g'(x) + g*f^(g-1)*f'(x)
У нас f(x) = tg(3x); f'(x) = 3/cos^2(3x); g(x) = x^2; g'(x) = 2x
y' = (tg(3x))^(x^2)*ln |tg(3x)|*2x + x^2*(tg(3x))^(x^2-1)*3/cos^2(3x)
10) x^5*y^2 - y^3 + √x = 11
Неявная функция.
Производную берем от всего уравнения, пишем (f(y)) ' = f'(y)*y'
5x^4*y^2 + x^5*2y*y' - 3y^2*y' + 1/(2√x) = 0
Выносим y' и пишем его как функцию от x и от y.
5x^4*y^2 + 1/(2√x) = y'*(-2x^5*y + 3y^2)
10x^4*√x*y^2 + 1 = y'*(6y^2*√x - 4x^5*y*√x)
![y'= \frac{10x^4* \sqrt{x} *y^2 + 1}{6y^2* \sqrt{x} - 4x^5*y* \sqrt{x} }](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D+%5Cfrac%7B10x%5E4%2A+%5Csqrt%7Bx%7D+%2Ay%5E2+%2B+1%7D%7B6y%5E2%2A+%5Csqrt%7Bx%7D++-+4x%5E5%2Ay%2A+%5Csqrt%7Bx%7D+%7D+)
3867 тонн !!!Удачи!!!!!!!!!!!
8-3=5 (яблок)
Ответ : 5 кислых яблок взяли для компота.
Пусть кол-во кошек будет равняться х, а кол-во собак — у.
Представляем задачу в виде системы уравнений(систему решаем методом подстановки переменной):
5х + 6у=56
х+у=10;
5х+6у=56
у=10-х;
5х+6(10-х)=56
у=10-х;
5х+60-6х=56
у=10-х;
-1х=-4
у=10-х;
х=4
у=6
Ответ: Всего было 4 кошки и 6 собак
Или решим по другому: без системы и перебора вариантов
<span>Сперва скормим каждому из десяти животных по 5 галет. У нас останется 6 галет. Но теперь все кошки получили причитающуюся им долю! Значит, 6 оставшихся галет предназначаются собакам. А поскольку каждому псу должно достаться еще по одной галете, то, следовательно, собак - 6, а кошек - 4.</span>
Для нахождения экстремумов (в т.ч. минимумов), нужно взять производную, приравнять её нулю и решить. Полученные значения проверить на максимум и минимум.
![y=x-ln(x+6)+3](https://tex.z-dn.net/?f=y%3Dx-ln%28x%2B6%29%2B3)
Область допустимых значений x >-6
![y'=(x-ln(x+6)+3)'=1- \frac{1}{x+6} =0 \\ \\ \frac{1}{x+6} =1 \\ \\ x+6=1 \\ \\ x=-5](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%28x-ln%28x%2B6%29%2B3%29%27%3D1-+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B6%7D+%3D0+%5C%5C++%5C%5C+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B6%7D+%3D1+%5C%5C++%5C%5C+x%2B6%3D1+%5C%5C++%5C%5C+x%3D-5)
Имеем одно экстремальное значение х = -5. Если производная в этой точке меняет знак с минуса на плюс, то это минимум. Для практической проверки следует подставить в выражение производной значение икс несколько меньше (-5) и несколько больше (-5). Обычно следует выбирать такие значение, чтобы легче считалось.
Слева, или меньше (-5) выбираем х = -5,5 (в данном случае нельзя брать меньше минус 6, т.к. выйдем из ОДЗ).
![y'(-5,5) = 1- \frac{1}{-5,5+6} =1- \frac{1}{0,5} =1-2=-1\ \textless \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%28-5%2C5%29+%3D+1-+%5Cfrac%7B1%7D%7B-5%2C5%2B6%7D+%3D1-+%5Cfrac%7B1%7D%7B0%2C5%7D+%3D1-2%3D-1%5C+%5Ctextless+%5C+0)
Справа, или больше (-5) выбираем х = 0.
![y'(0) = 1- \frac{1}{0+6} =1- \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \ \textgreater \ 0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%280%29+%3D+1-+%5Cfrac%7B1%7D%7B0%2B6%7D+%3D1-+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D+%3D+%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D+%5C+%5Ctextgreater+%5C+0)
Итак, мы видим, что производная (слева направо) меняет свой знак с минуса на плюс. Это означает, что найденный экстремум является минимум. Если было наоборот, то был бы максимум.
![x_{min}=-5 \\ \\ y(-5)=x-ln(x+6)+3=-5-ln(-5+6)+3=-5-ln1+3=-2](https://tex.z-dn.net/?f=x_%7Bmin%7D%3D-5+%5C%5C++%5C%5C+y%28-5%29%3Dx-ln%28x%2B6%29%2B3%3D-5-ln%28-5%2B6%29%2B3%3D-5-ln1%2B3%3D-2)