Y = (x^2 + 8)/(x + 1)
1) x ∈ (-oo; -1) U (-1; +oo)
2) Не четная и не нечетная
3) Порядочность - что это? Порядочная? Беспорядочная? Непорядочная?
4)
![y'= \frac{2x(x+1)-(x^2+8)}{(x+1)^2}= \frac{2x^2+2x-x^2-8}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2} = \frac{(x+4)(x-2)}{(x+1)^2} =0](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D+%5Cfrac%7B2x%28x%2B1%29-%28x%5E2%2B8%29%7D%7B%28x%2B1%29%5E2%7D%3D+%5Cfrac%7B2x%5E2%2B2x-x%5E2-8%7D%7B%28x%2B1%29%5E2%7D+%3D+%5Cfrac%7Bx%5E2%2B2x-8%7D%7B%28x%2B1%29%5E2%7D+%3D+%5Cfrac%7B%28x%2B4%29%28x-2%29%7D%7B%28x%2B1%29%5E2%7D+%3D0)
x1 = -4; y(-4) = (16 + 8)/(-4 + 1) = 24/(-3) = -8 - минимум
x2 = 2; y(2) = (4 + 8)/(2 + 1) = 12/3 = 4 - максимум
В точке x0 = -1 производная не существует.
При x ∈ (-oo; -4) будет y' > 0, функция возрастает
При x ∈ (-4; -1) будет y' < 0, функция убывает
При x ∈ (-1; 2) будет y' < 0, функция убывает
При x ∈ (2; +oo) будет y' > 0, функция возрастает
5)
![y''= \frac{(2x+2)(x+1)^2-(x^2+2x-8)*2(x+1)}{(x+1)^4} =\frac{(2x+2)(x+1)-2(x^2+2x-8)}{(x+1)^3} =](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%27%3D+%5Cfrac%7B%282x%2B2%29%28x%2B1%29%5E2-%28x%5E2%2B2x-8%29%2A2%28x%2B1%29%7D%7B%28x%2B1%29%5E4%7D+%3D%5Cfrac%7B%282x%2B2%29%28x%2B1%29-2%28x%5E2%2B2x-8%29%7D%7B%28x%2B1%29%5E3%7D+%3D)
![=\frac{2x^2+4x+2-2x^2-4x+8}{(x+1)^3} = \frac{10}{(x+1)^3} =0](https://tex.z-dn.net/?f=%3D%5Cfrac%7B2x%5E2%2B4x%2B2-2x%5E2-4x%2B8%7D%7B%28x%2B1%29%5E3%7D+%3D+%5Cfrac%7B10%7D%7B%28x%2B1%29%5E3%7D+%3D0)
Решений нет, но при x = -1 вторая производная не определена.
При x ∈ (-oo; -1) будет y'' < 0, функция выпуклая вверх
При x ∈ (-1; +oo) будет y'' > 0, функция выпуклая вниз (вогнутая)
6) Асимптота вертикальная в точке разрыва x = -1.
Асимптоты наклонные и горизонтальные. Прямая f(x) = kx + b
![k= \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+8}{x^2+x} =1](https://tex.z-dn.net/?f=k%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7By%28x%29%7D%7Bx%7D+%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7Bx%5E2%2B8%7D%7Bx%5E2%2Bx%7D+%3D1)
![b= \lim_{x \to \infty} (y(x)-k*x)= \lim_{x \to \infty} ( \frac{x^2+8}{x+1} -x)=](https://tex.z-dn.net/?f=b%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%28y%28x%29-k%2Ax%29%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D+%28+%5Cfrac%7Bx%5E2%2B8%7D%7Bx%2B1%7D+-x%29%3D)
![= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+8-x^2-x}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{-x+8}{x+1} =-1](https://tex.z-dn.net/?f=%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7Bx%5E2%2B8-x%5E2-x%7D%7Bx%2B1%7D+%3D+%5Clim_%7Bx+%5Cto+%5Cinfty%7D++%5Cfrac%7B-x%2B8%7D%7Bx%2B1%7D+%3D-1)
Наклонная асимптота f(x) = x - 1
7) Точки пересечения с осями
С осью Oy: x = 0; y(0) = (0 + 8)/(0 + 1) = 8/1 = 8. A(0; 8)
С осью Ox: y = 0; (x^2 + 8)/(x + 1) = 0; решений нет. Нет пересечений.
8) График сами стройте, у меня тетрадки в клеточку нет.