В русской орфографии и синтаксисе существуют оба варианта слов, предложенных для анализа:
ничем и ни чем.
Отрицательное местоимение "ничто" может употребляться в предложении в форме творительного падежа.
Я вам ничем не обязан.
Не обязан чем? ничем.
В таком случае, как и начальная форма "ничто", эта словоформа пишется слитно с приставкой ни-, как и другие такие же отрицательные местоимения и их формы:
никто - никем, никого, никому;
ничто - ничего, ничему, ничем.
Единственный случай раздельного написания, когда между ни и местоимением внедряется предлог и, образно говоря, рассталкивает их своими локтями:
ни с чем, ни о чём, ни у кого, ни о ком, ни с кем.
Иное дело, если в тексте имеется повторяющийся сочинительный союз ни...ни, который пишется со всеми словами раздельно, в том числе и с местоимением "что" в форме творительного падежа, например:
Нам неизвестно, ни где он пропадал все эти дни, ни чем он занимался, ни кто дал ему крышу над головой.