Условия непрерывности функции в точке:
1) Функция определена в точке
2) Левосторонний предел функции в точке равен правостороннему
3) Значение функции в точке равно пределу при приближении к этой точке
Если хотя бы одно из этих требований нарушено, тогда функция не является непрерывной в этой точке.
![f(x) = (\frac{1}{27})^{ \frac{1}{x+4} }](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29+%3D++%28%5Cfrac%7B1%7D%7B27%7D%29%5E%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bx%2B4%7D+%7D)
В точке x = -4 функция не определена, условие (1) не выполняется, следовательно, это точка разрыва.
В точке х = -1 функция определена. Условие (1) выполняется.
Левосторонний предел равен
![f(x) = (\frac{1}{27})^{ \frac{1}{3- \beta } } = (\frac{1}{27})^{ \frac{1}{3} } = \frac{1}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29+%3D+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B27%7D%29%5E%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3-+%5Cbeta+%7D+%7D+%3D+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B27%7D%29%5E%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%7D+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+)
Правосторонний предел равен
![f(x) = (\frac{1}{27})^{ \frac{1}{3+ \beta } } = (\frac{1}{27})^{ \frac{1}{3} } = \frac{1}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29+%3D+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B27%7D%29%5E%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%2B+%5Cbeta+%7D+%7D+%3D+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B27%7D%29%5E%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%7D+%3D++%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+)
Значение функции равно
![f(x) = (\frac{1}{27})^{ \frac{1}{3} } = \frac{1}{3}](https://tex.z-dn.net/?f=f%28x%29+%3D+%28%5Cfrac%7B1%7D%7B27%7D%29%5E%7B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+)
Следовательно, условия (2) и (3) выполняются. В точке х = -1 функция непрерывна.