1) Вы и сами отметили, что употреблён неправильный падеж (Анну Андреевну) 2) Наречие "таким образом" отвечает на вопрос "как? каким образом? ", а глагол "находилась" подразумевает вопрос "где?". Значит чтобы не искажался смысл меняем "находилась" на "располагалась". 3) Глагол "увидев" стоит в прошедшем времени, а "становится" - в настоящем. Неверное согласование времен. Либо замена "увидев" на "видя", либо замена "становится" на "стало". 4)Глагол "ждать" подразумевает вопрос "чего? кого? ", а перед ним стоит "что? ". А вот "увидел что" - всё верно. Так что "он увидел то, что ждал, что смутно надеялся увидеть".
Саженей десять волочился он за шедшей карьером лошадью, а потом вскочил на ноги, ухватился за стремя, за заднюю луку седла и через какой-то незаметный миг очутился уже на лошади.